Álgebra Ejemplos

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Paso 1

La función principal es la forma más simple del tipo de función dado.

$y = x^{2}$

Paso 2

Simplifica ${(x + 2)}^{2} + 3$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$y = (x + 2) (x + 2) + 3$

Paso 2.1.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x + 2) + 2 (x + 2) + 3$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + 3$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + 3$

Paso 2.1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$y = x^{2} + 4 x + 4 + 3$

Paso 2.2

Suma $4$ y $3$ .

$y = x^{2} + 4 x + 7$

Paso 3

Supón que $y = x^{2}$ es $f (x) = x^{2}$ y $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ es $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Paso 4

La transformación que se describe es de $f (x) = x^{2}$ a $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Paso 5

Obtén la forma del vértice de $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

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Paso 5.1

Completa el cuadrado de $x^{2} + 4 x + 7$ .

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Paso 5.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 7$

Paso 5.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 5.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 5.1.3.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 5.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 5.1.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.4.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 5.1.4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Paso 5.1.4.2.1.1.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Paso 5.1.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 7 - 4$

Paso 5.1.4.2.2

Resta $4$ de $7$ .

$e = 3$

Paso 5.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 2)}^{2} + 3$ .

${(x + 2)}^{2} + 3$

Paso 5.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Paso 6

El cambio horizontal depende del valor de $h$ . Este se describe de la siguiente manera:

$g (x) = f (x + h)$ : La gráfica se desplaza hacia la izquierda $h$ unidades.

$g (x) = f (x - h)$ : La gráfica se desplaza hacia la derecha $h$ unidades.

Desplazamiento horizontal: unidades $2$ a la izquierda

Paso 7

El desplazamiento vertical depende del valor de $k$ . Este se describe de la siguiente manera:

$g (x) = f (x) + k$ : La gráfica se desplaza hacia arriba $k$ unidades.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Desplazamiento vertical: arriba $3$ unidades

Paso 8

La gráfica se refleja en el eje x cuando $g (x) = - f (x)$ .

Reflejo en el eje x: ninguno

Paso 9

La gráfica se refleja en el eje y cuando $g (x) = f (- x)$ .

Reflejo en el eje y: ninguno

Paso 10

Comprimir y estirar depende del valor de $a$ .

Cuando $a$ es mayor que $1$ : expandido verticalmente

Cuando $a$ está entre $0$ y $1$ : comprimido verticalmente

Compresión o expansión vertical: ninguna

Paso 11

Compara y enumera las transformaciones.

Función principal: $y = x^{2}$

Desplazamiento horizontal: unidades $2$ a la izquierda

Desplazamiento vertical: arriba $3$ unidades

Reflejo en el eje x: ninguno

Reflejo en el eje y: ninguno

Compresión o expansión vertical: ninguna

Paso 12