Álgebra Ejemplos

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}} = - 1$

Paso 2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica ${({(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.1.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{1} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.1.1.2

Simplifica.

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x^{2} + 4 x + 11 = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 4 x + 11 = 1$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 4.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x + 11 - 1 = 0$

Paso 4.1.2

Resta $1$ de $11$ .

$x^{2} + 4 x + 10 = 0$

Paso 4.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 10$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.3

Resta $40$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4

Reescribe $- 24$ como $- 1 (24)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (24)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.7

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 4.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{6}$

Paso 4.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + i \sqrt{6}, - 2 - i \sqrt{6}$