Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 x - 12$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.1.2

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot - 4}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.1.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 4$ .

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.2

Reduce la expresión $\frac{3 (x - 4)}{3 x}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.3

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 3^{2}}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Paso 1.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 1.6.1.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 x$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 (x) + 15}$

Paso 1.6.1.2

Reescribe $- 16$ como $- 6$ más $- 10$

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} + (- 6 - 10) x + 15}$

Paso 1.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 6 x - 10 x + 15}$

Paso 1.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(4 x^{2} - 6 x) - 10 x + 15}$

Paso 1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)}$

Paso 1.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Paso 1.7

Reduce la expresión $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Paso 1.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 2 x - 5$

Paso 2.2

Como $x, 2 x - 5$ contiene tanto números como variables, hay cuatro pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para las partes numérica, variable y variable compuesta. Luego, multiplícalos.

Los pasos para obtener el MCM para $x, 2 x - 5$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $1, 1$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $x^{1}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $2 x - 5$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

El MCM de $1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.6

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El MCM de $x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x$

Paso 2.8

El factor para $2 x - 5$ es $2 x - 5$ en sí mismo.

$(2 x - 5) = 2 x - 5$

$(2 x - 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $2 x - 5$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$2 x - 5$

Paso 2.10

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$x (2 x - 5)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$ por $x (2 x - 5)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$ por $x (2 x - 5)$ .

$\frac{x - 4}{x} (x (2 x - 5)) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{x} (x (2 x - 5)) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$(x - 4) (2 x - 5) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.2

Expande $(x - 4) (2 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.3.1.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.3.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.2.3.2

Resta $8 x$ de $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $2 x - 5$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2 x - 5$ de $x (2 x - 5)$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} ((2 x - 5) x)$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} ((2 x - 5) x)$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = (2 x + 3) x$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x \cdot x + 3 x$

Paso 3.3.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 (x \cdot x) + 3 x$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x^{2} + 3 x$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} = 3 x$

Paso 4.1.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 4.1.3

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x$ .

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Paso 4.1.3.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 13 x + 20 + 0 - 3 x = 0$

Paso 4.1.3.2

Suma $- 13 x + 20$ y $0$ .

$- 13 x + 20 - 3 x = 0$

Paso 4.1.4

Resta $3 x$ de $- 13 x$ .

$- 16 x + 20 = 0$

Paso 4.2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$- 16 x = - 20$

Paso 4.3

Divide cada término en $- 16 x = - 20$ por $- 16$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $- 16 x = - 20$ por $- 16$ .

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 16$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 16}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común de $- 20$ y $- 16$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 20$ .

$x = \frac{- 4 (5)}{- 16}$

Paso 4.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 16$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Paso 4.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Paso 4.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{5}{4}$

Forma decimal:

$x = 1.25$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{1}{4}$