Álgebra Ejemplos

${(x - 3)}^{2} + y^{2} \leq 9$

Paso 1

Resta ${(x - 3)}^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$y^{2} \leq 9 - {(x - 3)}^{2}$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| y | \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x - 3$ .

$| y | \leq \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.1.3.1

Resta $3$ de $3$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Paso 3.2.1.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Paso 3.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Paso 3.2.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Paso 3.2.1.3.5

Suma $3$ y $3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Paso 4

Escribe $| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ como una función definida por partes.

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Paso 4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$y \geq 0$

Paso 4.2

En la parte donde $y$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ y obtén la intersección con $y \geq 0$ .

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Paso 4.3.1

Obtén el dominio de $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

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Paso 4.3.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{x (- x + 6)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x (- x + 6) \geq 0$

Paso 4.3.1.2

Resuelve $y$

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Paso 4.3.1.2.1

Simplifica $x (- x + 6)$ .

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Paso 4.3.1.2.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.1.2

Reordena.

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Paso 4.3.1.2.1.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.1.2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Paso 4.3.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Paso 4.3.1.2.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Paso 4.3.1.2.3

Factoriza $- x$ de $- x^{2} + 6 x$ .

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Paso 4.3.1.2.3.1

Factoriza $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Paso 4.3.1.2.3.2

Factoriza $- x$ de $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Paso 4.3.1.2.3.3

Factoriza $- x$ de $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

Paso 4.3.1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 4.3.1.2.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.3.1.2.6

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1.2.6.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.3.1.2.6.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 4.3.1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- x (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6$

Paso 4.3.1.2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Paso 4.3.1.2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.3.1.2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.1.2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 4.3.1.2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.9.1.3

$- 16$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.3.1.2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.1.2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 4.3.1.2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.9.2.3

$9$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.3.1.2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.1.2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 4.3.1.2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Paso 4.3.1.2.9.3.3

$- 16$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.3.1.2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 4.3.1.2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 6$

Paso 4.3.1.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, 6]$

Paso 4.3.2

Obtén la intersección de $y \geq 0$ y $[0, 6]$ .

$0 \leq y \leq 6$

Paso 4.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$y < 0$

Paso 4.5

En la parte donde $y$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Paso 4.6

Obtén el dominio de $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ y obtén la intersección con $y < 0$ .

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Paso 4.6.1

Obtén el dominio de $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

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Paso 4.6.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{x (- x + 6)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x (- x + 6) \geq 0$

Paso 4.6.1.2

Resuelve $y$

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Paso 4.6.1.2.1

Simplifica $x (- x + 6)$ .

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Paso 4.6.1.2.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 4.6.1.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.1.2

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.1.2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Paso 4.6.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Paso 4.6.1.2.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Paso 4.6.1.2.3

Factoriza $- x$ de $- x^{2} + 6 x$ .

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Paso 4.6.1.2.3.1

Factoriza $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Paso 4.6.1.2.3.2

Factoriza $- x$ de $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Paso 4.6.1.2.3.3

Factoriza $- x$ de $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

Paso 4.6.1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 4.6.1.2.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.6.1.2.6

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1.2.6.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.6.1.2.6.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 4.6.1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- x (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6$

Paso 4.6.1.2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Paso 4.6.1.2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.6.1.2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.6.1.2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 4.6.1.2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.9.1.3

$- 16$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.6.1.2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 4.6.1.2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.9.2.3

$9$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.6.1.2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 4.6.1.2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Paso 4.6.1.2.9.3.3

$- 16$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.6.1.2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 4.6.1.2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 6$

Paso 4.6.1.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, 6]$

Paso 4.6.2

Obtén la intersección de $y < 0$ y $[0, 6]$ .

$No hay solución$

Paso 4.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{x (- x + 6)} & 0 \leq y \leq 6 \end{cases}$

Paso 5

Obtén la intersección de $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ y $0 \leq y \leq 6$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Paso 6

Obtén la unión de las soluciones.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Paso 7