Álgebra Ejemplos

$y = 2 x - x^{2} + 6$

Paso 1

Reordena $2 x$ y $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x + 6$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $- x^{2} + 2 x + 6$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 6$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.1.1.3.2.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 6 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 6 - \frac{4}{- 4}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $- 4$ .

$e = 6 - - 1$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 6 + 1$

Paso 2.1.1.4.2.2

Suma $6$ y $1$ .

$e = 7$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - 1)}^{2} + 7$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 7$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x - 1)}^{2} + 7$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 7$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, 7)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, \frac{27}{4})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 1$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{29}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(1, 7)$

Foco: $(1, \frac{27}{4})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = \frac{29}{4}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(1, 7)$

Foco: $(1, \frac{27}{4})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = \frac{29}{4}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - {(0)}^{2} + 2 (0) + 6$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - 0 + 2 (0) + 6$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) + 6$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Paso 3.2.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$f (0) = 6$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = 0$ es $6$ .

$y = 6$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 6$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 3.5.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 6$

Paso 3.5.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 2 (- 1) + 6$

Paso 3.5.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 (- 1) + 6$

Paso 3.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 2 (- 1) + 6$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 2 + 6$

Paso 3.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.5.2.1

Resta $2$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 6$

Paso 3.5.2.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$f (- 1) = 3$

Paso 3.5.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2 (2) + 6$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2 (2) + 6$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4 + 2 (2) + 6$

Paso 3.8.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = - 4 + 4 + 6$

Paso 3.8.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.8.2.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (2) = 0 + 6$

Paso 3.8.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$f (2) = 6$

Paso 3.8.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 2$ es $6$ .

$y = 6$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3) + 6$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 2 (3) + 6$

Paso 3.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (3) = - 9 + 2 (3) + 6$

Paso 3.11.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (3) = - 9 + 6 + 6$

Paso 3.11.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.11.2.1

Suma $- 9$ y $6$ .

$f (3) = - 3 + 6$

Paso 3.11.2.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$f (3) = 3$

Paso 3.11.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 3$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 1 & 7 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(1, 7)$

Foco: $(1, \frac{27}{4})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 1 & 7 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{array}$

Paso 5