Álgebra Ejemplos

$\tan^{2} (x) = 3$

Paso 1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Paso 2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Paso 2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Paso 2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 3

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Paso 4

Resuelve $x$ en $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Paso 4.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 4.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Paso 4.4

Simplifica $π + \frac{π}{3}$ .

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Paso 4.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 4.4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 4.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Paso 4.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Paso 4.4.3.2

Suma $3 π$ y $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 4.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 4.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 4.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 4.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 4.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 4.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Paso 5.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\arctan (- \sqrt{3})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 5.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Paso 5.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Paso 5.4.2

El ángulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 5.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 5.6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Paso 5.6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.6.3

Combina fracciones.

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Paso 5.6.3.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 5.6.4.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 5.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las soluciones.

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Paso 7.1

Consolida $\frac{π}{3} + π n$ y $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.2

Consolida $\frac{2 π}{3} + π n$ y $\frac{2 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$