Álgebra Ejemplos

$\frac{6 y^{2} + 18 y - 60}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza $6$ de $6 y^{2} + 18 y - 60$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $6$ de $6 y^{2}$ .

$\frac{6 (y^{2}) + 18 y - 60}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 1.1.2

Factoriza $6$ de $18 y$ .

$\frac{6 (y^{2}) + 6 (3 y) - 60}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 1.1.3

Factoriza $6$ de $- 60$ .

$\frac{6 y^{2} + 6 (3 y) + 6 \cdot - 10}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 1.1.4

Factoriza $6$ de $6 y^{2} + 6 (3 y)$ .

$\frac{6 (y^{2} + 3 y) + 6 \cdot - 10}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 1.1.5

Factoriza $6$ de $6 (y^{2} + 3 y) + 6 \cdot - 10$ .

$\frac{6 (y^{2} + 3 y - 10)}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2} + 3 y - 10$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $3$ .

$- 2, 5$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 ((y - 2) (y + 5))}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 2

Factoriza $3 y$ de $3 y^{2} - 12 y$ .

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Paso 2.1

Factoriza $3 y$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y) - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 2.2

Factoriza $3 y$ de $- 12 y$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y) + 3 y (- 4)} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 2.3

Factoriza $3 y$ de $3 y (y) + 3 y (- 4)$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 4^{2}}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 4$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 4

Factoriza $y^{2} + 2 y - 8$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{(y - 2) (y + 4)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $y - 2$ de $6 (y - 2) (y + 5)$ .

$\frac{(y - 2) (6 (y + 5))}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{(y - 2) (y + 4)}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 2) (6 (y + 5))}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{(y - 2) (y + 4)}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{y + 4}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $y - 4$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y - 4$ de $3 y (y - 4)$ .

$\frac{6 (y + 5)}{(y - 4) (3 y)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{y + 4}$

Paso 5.2.2

Factoriza $y - 4$ de $(y + 4) (y - 4)$ .

$\frac{6 (y + 5)}{(y - 4) (3 y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 4)}{y + 4}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{6 (y + 5)}{(y - 4) (3 y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 4)}{y + 4}$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (y + 5)}{3 y} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{6 (y + 5)}{3 y}$ por $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{6 (y + 5) (y + 4)}{3 y (y + 4)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3$ de $6 (y + 5) (y + 4)$ .

$\frac{3 (2 (y + 5) (y + 4))}{3 y (y + 4)}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $3$ de $3 y (y + 4)$ .

$\frac{3 (2 (y + 5) (y + 4))}{3 (y (y + 4))}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 (y + 5) (y + 4))}{3 (y (y + 4))}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (y + 5) (y + 4)}{y (y + 4)}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $y + 4$ .

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Paso 5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (y + 5) (y + 4)}{y (y + 4)}$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (y + 5)}{y}$