Álgebra Ejemplos

$\tan (\frac{π}{12}) = \cot (x - \frac{π}{36})$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$

Paso 2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{12})$ es $2 - \sqrt{3}$ .

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Paso 2.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Paso 2.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Paso 2.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Paso 2.4

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Paso 2.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Paso 2.6

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.7

Simplifica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Paso 2.7.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $3$ .

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Paso 2.7.1.1

Multiplica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.7.1.2

Combinar.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.7.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.7.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.7.3.2

Cancela el factor común.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.7.3.3

Reescribe la expresión.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.7.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.7.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.7.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.7.5.2.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.7.5.2.2

Cancela el factor común.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.7.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Paso 2.7.6

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 2.7.7

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Paso 2.7.8

Expande el denominador con el método PEIU.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.7.9

Simplifica.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.10.1

Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.10.2

Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Paso 2.7.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Paso 2.7.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Paso 2.7.11

Reescribe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.12

Expande $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.7.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.7.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.13.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.13.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.13.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.13.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 2.7.13.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.7.13.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.7.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.7.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Paso 2.7.13.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Paso 2.7.13.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Paso 2.7.13.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.7.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Paso 2.7.13.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Paso 2.7.13.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 2.7.13.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.13.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 2.7.13.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Paso 2.7.13.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Paso 2.7.13.2

Suma $9$ y $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.7.13.3

Resta $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.7.14

Cancela el factor común de $12 - 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Paso 2.7.14.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.7.14.2

Factoriza $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.14.3

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 2.7.14.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.14.4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Paso 2.7.14.4.2

Cancela el factor común.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Paso 2.7.14.4.3

Reescribe la expresión.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Paso 2.7.14.4.4

Divide $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 2 - \sqrt{3}$

Paso 3

Convierte el lado derecho de la ecuación a su equivalente decimal.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 0.26794919$

Paso 4

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x - \frac{π}{36} = arccot (0.26794919)$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Evalúa $arccot (0.26794919)$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{5 π}{12}$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Suma $\frac{π}{36}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π}{36}$

Paso 6.2

Para escribir $\frac{5 π}{12}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Paso 6.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{5 π}{12}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Paso 6.3.2

Multiplica $12$ por $3$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{36}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$x = \frac{15 π + π}{36}$

Paso 6.5.2

Suma $15 π$ y $π$ .

$x = \frac{16 π}{36}$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $16$ y $36$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $4$ de $16 π$ .

$x = \frac{4 (4 π)}{36}$

Paso 6.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.6.2.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$x = \frac{4 (4 π)}{4 (9)}$

Paso 6.6.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 9}$

Paso 6.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4 π}{9}$

Paso 7

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x - \frac{π}{36} = π + \frac{5 π}{12}$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Simplifica $π + \frac{5 π}{12}$ .

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Paso 8.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = π \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Paso 8.1.2

Combina fracciones.

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Paso 8.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Paso 8.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12 + 5 π}{12}$

Paso 8.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.3.1

Mueve $12$ a la izquierda de $π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{12 \cdot π + 5 π}{12}$

Paso 8.1.3.2

Suma $12 π$ y $5 π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{17 π}{12}$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Suma $\frac{π}{36}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{17 π}{12} + \frac{π}{36}$

Paso 8.2.2

Para escribir $\frac{17 π}{12}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Paso 8.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $\frac{17 π}{12}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $12$ por $3$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Paso 8.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{17 π \cdot 3 + π}{36}$

Paso 8.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.5.1

Multiplica $3$ por $17$ .

$x = \frac{51 π + π}{36}$

Paso 8.2.5.2

Suma $51 π$ y $π$ .

$x = \frac{52 π}{36}$

Paso 8.2.6

Cancela el factor común de $52$ y $36$ .

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Paso 8.2.6.1

Factoriza $4$ de $52 π$ .

$x = \frac{4 (13 π)}{36}$

Paso 8.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.6.2.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$x = \frac{4 (13 π)}{4 (9)}$

Paso 8.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 (13 π)}{4 \cdot 9}$

Paso 8.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{13 π}{9}$

Paso 9

Obtén el período de $\cot (x - \frac{π}{36})$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 9.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 10

El período de la función $\cot (x - \frac{π}{36})$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{9} + π n, \frac{13 π}{9} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Consolida las respuestas.

$x = \frac{4 π}{9} + π n$ , para cualquier número entero $n$