Álgebra Ejemplos

$- 3 x^{2} + 3 x + 4 \leq - 2$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 3 x^{2} + 3 x + 4 = - 2$

Paso 2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} + 3 x + 4 + 2 = 0$

Paso 3

Suma $4$ y $2$ .

$- 3 x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $- 3$ de $3 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- x) + 6 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 3$ de $6$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 2 = 0$

Paso 4.1.4

Factoriza $- 3$ de $- 3 (x^{2}) - 3 (- x)$ .

$- 3 (x^{2} - x) - 3 \cdot - 2 = 0$

Paso 4.1.5

Factoriza $- 3$ de $- 3 (x^{2} - x) - 3 (- 2)$ .

$- 3 (x^{2} - x - 2) = 0$

Paso 4.2

Factoriza.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 3 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 (x - 2) (x + 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 3 (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$- 3 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + 4 \leq - 2$

Paso 10.1.3

$- 56$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 3 {(0)}^{2} + 3 (0) + 4 \leq - 2$

Paso 10.2.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$- 3 {(4)}^{2} + 3 (4) + 4 \leq - 2$

Paso 10.3.3

$- 32$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 1$ o $x \geq 2$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - 1 or x \geq 2$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [2, \infty)$

Paso 13