Álgebra Ejemplos

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} \leq 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Factoriza $- x^{2}$ de $- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Factoriza $- x^{2}$ de $- 3 x^{4}$ .

$- x^{2} (3 x^{2}) - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- x^{2}$ de $- 20 x^{3}$ .

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) + 7 x^{2} = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $- x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $- x^{2}$ de $- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x)$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $- x^{2}$ de $- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} (- 7)$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x - 7) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ y cuya suma es $b = 20$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $20$ de $20 x$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 (x) - 7) = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe $20$ como $- 1$ más $21$

$- x^{2} (3 x^{2} + (- 1 + 21) x - 7) = 0$

Paso 2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} (3 x^{2} - 1 x + 21 x - 7) = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) + 21 x - 7) = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x^{2} (x (3 x - 1) + 7 (3 x - 1)) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$- x^{2} ((3 x - 1) (x + 7)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 6

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 6.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{3}, - 7$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$- 3 {(- 10)}^{4} - 20 {(- 10)}^{3} + 7 {(- 10)}^{2} \leq 0$

Paso 9.1.3

$- 9300$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$- 3 {(- 4)}^{4} - 20 {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} \leq 0$

Paso 9.2.3

$624$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.17$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $0.17$ en la desigualdad original.

$- 3 {(0.17)}^{4} - 20 {(0.17)}^{3} + 7 {(0.17)}^{2} \leq 0$

Paso 9.3.3

$0.10153437$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$- 3 {(3)}^{4} - 20 {(3)}^{3} + 7 {(3)}^{2} \leq 0$

Paso 9.4.3

$- 720$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$x > \frac{1}{3}$ Verdadero

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$x > \frac{1}{3}$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 7$ o $x \geq \frac{1}{3}$ o $x = 0$

Paso 11

Combina los intervalos.

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 7] \cup [0, 0] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

Paso 13