Álgebra Ejemplos

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Paso 1

Simplifica $\frac{7}{2} x$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$x^{2} - 2 < 0 + 0 + \frac{7}{2} x$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Paso 1.3

Combina $\frac{7}{2}$ y $x$ .

$x^{2} - 2 < \frac{7 x}{2}$

Paso 2

Resta $\frac{7 x}{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 2 - \frac{7 x}{2} < 0$

Paso 3

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 x}{2}$ al numerador.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 4 - 7 x < 0$

Paso 3.3

Mueve $- 4$ .

$2 x^{2} - 7 x - 4 < 0$

Paso 4

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} - 7 x - 4 = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 7$ y $c = - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.1.3

Suma $49$ y $32$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.1.4

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{7 \pm 9}{2 \cdot 2}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 4, - \frac{1}{2}$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (- 3)$

Paso 10.1.3

$7$ del lado izquierdo no es menor que $- 10.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (0)$

Paso 10.2.3

$- 2$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (6)$

Paso 10.3.3

$34$ del lado izquierdo no es menor que $21$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Notación de intervalo:

$(- \frac{1}{2}, 4)$

Paso 13