Álgebra Ejemplos

$\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} (\cos^{2} (θ) - 1)$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Factoriza $1$ de $\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1)$ .

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Paso 1.1.1

Multiplica por $1$ .

$1 \tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1)$

Paso 1.1.2

Factoriza $1$ de $\frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1)$ .

$1 \tan^{2} (θ) + 1 (\frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1))$

Paso 1.1.3

Factoriza $1$ de $1 \tan^{2} (θ) + 1 (\frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1))$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1))$

Paso 1.2

Reordena $\cos^{2} (θ)$ y $- 1$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 + \cos^{2} (θ)))$

Paso 1.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 (1) + \cos^{2} (θ)))$

Paso 1.4

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (θ)$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))))$

Paso 1.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 (1 - \cos^{2} (θ))))$

Paso 1.6

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ como $- (1 - \cos^{2} (θ))$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- (1 - \cos^{2} (θ))))$

Paso 2

Aplica la identidad pitagórica.

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ)))$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$ por $1$ .

$\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{25}$ y $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\sin^{2} (θ)}{25}$

Paso 4

Reescribe $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ como ${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (θ)}{25}$

Paso 5

Reescribe $\frac{\sin^{2} (θ)}{25}$ como ${(\frac{\sin (θ)}{5})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - {(\frac{\sin (θ)}{5})}^{2}$

Paso 6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ y $b = \frac{\sin (θ)}{5}$ .

$(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{5}) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 7

Convierte de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ a $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5}) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 8

Convierte de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ a $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5}) (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 9

Expande $(\tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5}) (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (θ) (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (θ) \tan (θ) + \tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (θ) \tan (θ) + \tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Combina los términos opuestos en $\tan (θ) \tan (θ) + \tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$ .

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Paso 10.1.1

Reordena los factores en los términos $\tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5})$ y $\frac{\sin (θ)}{5} \tan (θ)$ .

$\tan (θ) \tan (θ) - \tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5} + \tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5} + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 10.1.2

Suma $- \tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5}$ y $\tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5}$ .

$\tan (θ) \tan (θ) + 0 + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 10.1.3

Suma $\tan (θ) \tan (θ)$ y $0$ .

$\tan (θ) \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica $\tan (θ) \tan (θ)$ .

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Paso 10.2.1.1

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 10.2.1.2

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 10.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\tan (θ)}^{1 + 1} + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 10.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\tan^{2} (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Paso 10.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin (θ)}{5} \cdot \frac{\sin (θ)}{5}$

Paso 10.2.3

Multiplica $- \frac{\sin (θ)}{5} \cdot \frac{\sin (θ)}{5}$ .

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $\frac{\sin (θ)}{5}$ por $\frac{\sin (θ)}{5}$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{5 \cdot 5}$

Paso 10.2.3.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{5 \cdot 5}$

Paso 10.2.3.3

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{5 \cdot 5}$

Paso 10.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan^{2} (θ) - \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Paso 10.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{2} (θ)}{5 \cdot 5}$

Paso 10.2.3.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{2} (θ)}{25}$