Álgebra Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ como una ecuación.

$y = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{1 - y^{3}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$ .

$\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{1 - y^{3}}}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{1 - y^{3}}$ como ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$1 - y^{3} = x^{3}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{3} = x^{3} - 1$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- y^{3} = x^{3} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- y^{3} = x^{3} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{3}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$y^{3} = - x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} = - x^{3} + 1$

Paso 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 1}$

Paso 3.4.4

Simplifica $\sqrt[3]{- x^{3} + 1}$ .

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Paso 3.4.4.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.4.4.1.1

Reescribe $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1}$

Paso 3.4.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1^{3}}$

Paso 3.4.4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = - x$ y $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica.

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Paso 3.4.4.3.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.4.4.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.4.4.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.4.4.3.4

Multiplica $- - x$ .

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Paso 3.4.4.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.4.4.3.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.4.4.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Paso 3.4.4.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.5

Simplifica.

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Paso 5.2.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.6

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.7

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.8

Simplifica.

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Paso 5.2.8.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.8.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.9

Reescribe ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.10.1

Aplica la regla del producto a $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.10.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1)}$

Paso 5.2.11

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Paso 5.2.12

Simplifica.

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Paso 5.2.12.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Paso 5.2.12.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1)}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1 - {(\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})}^{3}}$

Paso 5.3.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1^{3} - {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{3}}$

Paso 5.3.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Paso 5.3.5

Simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Paso 5.3.5.2

Multiplica $\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ por $1$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Paso 5.3.5.3

Reescribe ${\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}})}$

Paso 5.3.5.4

Aplica la regla del producto a $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{(- x + 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}})}$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$