Álgebra Ejemplos

$y = \frac{1}{2} {(x + 4)}^{2} - 8$

Paso 1

La función principal es la forma más simple del tipo de función dado.

$y = x^{2}$

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2} - 8$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot ((x + 4) (x + 4)) - 8$

Paso 2.1.2

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 4) + 4 (x + 4)) - 8$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) - 8$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) - 8$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) - 8$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) - 8$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) - 8$

Paso 2.1.3.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 8 x + 16) - 8$

Paso 2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Paso 2.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Paso 2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Paso 2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Paso 2.1.5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.5.3.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) - 8$

Paso 2.1.5.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 8$

Paso 2.1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8 - 8$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8 - 8$ .

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Paso 2.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 0$

Paso 2.2.2

Suma $\frac{x^{2}}{2} + 4 x$ y $0$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Paso 3

Supón que $y = x^{2}$ es $f (x) = x^{2}$ y $y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2} - 8$ es $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Paso 4

La transformación que se describe es de $f (x) = x^{2}$ a $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Paso 5

El cambio horizontal depende del valor de $h$ . Este se describe de la siguiente manera:

$g (x) = f (x + h)$ : La gráfica se desplaza hacia la izquierda $h$ unidades.

$g (x) = f (x - h)$ : La gráfica se desplaza hacia la derecha $h$ unidades.

Desplazamiento horizontal: unidades $4$ a la izquierda

Paso 6

El desplazamiento vertical depende del valor de $k$ . Este se describe de la siguiente manera:

$g (x) = f (x) + k$ : La gráfica se desplaza hacia arriba $k$ unidades.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Desplazamiento vertical: abajo $8$ unidades

Paso 7

La gráfica se refleja en el eje x cuando $g (x) = - f (x)$ .

Reflejo en el eje x: ninguno

Paso 8

La gráfica se refleja en el eje y cuando $g (x) = f (- x)$ .

Reflejo en el eje y: ninguno

Paso 9

Comprimir y estirar depende del valor de $a$ .

Cuando $a$ es mayor que $1$ : expandido verticalmente

Cuando $a$ está entre $0$ y $1$ : comprimido verticalmente

Compresión o expansión vertical: comprimido

Paso 10

Compara y enumera las transformaciones.

Función principal: $y = x^{2}$

Desplazamiento horizontal: unidades $4$ a la izquierda

Desplazamiento vertical: abajo $8$ unidades

Reflejo en el eje x: ninguno

Reflejo en el eje y: ninguno

Compresión o expansión vertical: comprimido

Paso 11