Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x - 8}{4 - x^{2}}$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 (x) - 8}{4 - x^{2}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $2$ como $- 4$ más $6$

$f (x) = \frac{3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8}{4 - x^{2}}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x) = \frac{(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x) = \frac{x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4)}{4 - x^{2}}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 4$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{4 - x^{2}}$

Paso 2

Factoriza $4 - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{2^{2} - x^{2}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(2 + x) (2 - x)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x + 2$ y $2 + x$ .

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Paso 3.1

Reordena los términos.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{3 x - 4}{2 - x}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$2 + x$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ .

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Paso 5.1

Establece $2 + x$ igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5.3

Sustituye $- 2$ por $x$ en $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Sustituye $- 2$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - - 2}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3 \cdot - 2 - 4$ y $2 - - 2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Reordena los términos.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Factoriza $2$ de $3 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1) - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2.1.3

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2.1.4

Factoriza $2$ de $2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) - 2 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) + 2 (- - 1)}$

Paso 5.3.2.1.5.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- - 1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Paso 5.3.2.1.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Paso 5.3.2.1.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot - 1 - 2}{1 - - 1}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 - 2}{1 - - 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$\frac{- 5}{1 - - 1}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 5}{1 + 1}$

Paso 5.3.2.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 5}{2}$

Paso 5.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{2}$

Paso 5.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(- 2, - \frac{5}{2})$

Paso 6