Álgebra Ejemplos

$3 y - y^{2} = x^{2}$

Paso 1

Dado que $x = r \cos (θ)$ , reemplaza $x$ por $r \cos (θ)$ .

$3 y - y^{2} = {(r \cos (θ))}^{2}$

Paso 2

Dado que $y = r \sin (θ)$ , reemplaza $y$ por $r \sin (θ)$ .

$3 (r \sin (θ)) - {(r \sin (θ))}^{2} = {(r \cos (θ))}^{2}$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Resta ${(r \cos (θ))}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 (r \sin (θ)) - {(r \sin (θ))}^{2} - {(r \cos (θ))}^{2} = 0$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $r \sin (θ)$ .

$3 r \sin (θ) - (r^{2} \sin^{2} (θ)) - {(r \cos (θ))}^{2} = 0$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $r \cos (θ)$ .

$3 r \sin (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) - r^{2} \cos^{2} (θ) = 0$

Paso 3.2.1.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $- r^{2}$ de $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$3 r \sin (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) - r^{2} \cos^{2} (θ) = 0$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza $- r^{2}$ de $- r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$3 r \sin (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) - r^{2} \cos^{2} (θ) = 0$

Paso 3.2.1.2.3

Factoriza $- r^{2}$ de $- r^{2} (\sin^{2} (θ)) - r^{2} (\cos^{2} (θ))$ .

$3 r \sin (θ) - r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) = 0$

Paso 3.2.2

Aplica la identidad pitagórica.

$3 r \sin (θ) - r^{2} \cdot 1 = 0$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 r \sin (θ) - r^{2} = 0$

Paso 3.3

Factoriza $r$ de $3 r \sin (θ) - r^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $r$ de $3 r \sin (θ)$ .

$r (3 \sin (θ)) - r^{2} = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $r$ de $- r^{2}$ .

$r (3 \sin (θ)) + r (- r) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza $r$ de $r (3 \sin (θ)) + r (- r)$ .

$r (3 \sin (θ) - r) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r = 0$

$3 \sin (θ) - r = 0$

Paso 3.5

Establece $r$ igual a $0$ .

$r = 0$

Paso 3.6

Establece $3 \sin (θ) - r$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.6.1

Establece $3 \sin (θ) - r$ igual a $0$ .

$3 \sin (θ) - r = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $3 \sin (θ) - r = 0$ en $r$ .

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Paso 3.6.2.1

Resta $3 \sin (θ)$ de ambos lados de la ecuación.

$- r = - 3 \sin (θ)$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $- r = - 3 \sin (θ)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $- r = - 3 \sin (θ)$ por $- 1$ .

$\frac{- r}{- 1} = \frac{- 3 \sin (θ)}{- 1}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{r}{1} = \frac{- 3 \sin (θ)}{- 1}$

Paso 3.6.2.2.2.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 3 \sin (θ)}{- 1}$

Paso 3.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 3 \sin (θ)}{- 1}$ .

$r = - 1 \cdot (- 3 \sin (θ))$

Paso 3.6.2.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (- 3 \sin (θ))$ como $- (- 3 \sin (θ))$ .

$r = - (- 3 \sin (θ))$

Paso 3.6.2.2.3.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$r = 3 \sin (θ)$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $r (3 \sin (θ) - r) = 0$ verdadera.

$r = 0$

$r = 3 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 3 \sin (θ)$