Álgebra Ejemplos

$x^{2} = 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1

Resta $12 {(y + \frac{5}{2})}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 0$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Reescribe ${(y + \frac{5}{2})}^{2}$ como $(y + \frac{5}{2}) (y + \frac{5}{2})$ .

$x^{2} - 12 ((y + \frac{5}{2}) (y + \frac{5}{2})) = 0$

Paso 1.2.2

Expande $(y + \frac{5}{2}) (y + \frac{5}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 12 (y (y + \frac{5}{2}) + \frac{5}{2} (y + \frac{5}{2})) = 0$

Paso 1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 12 (y \cdot y + y \frac{5}{2} + \frac{5}{2} (y + \frac{5}{2})) = 0$

Paso 1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 12 (y \cdot y + y \frac{5}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Paso 1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + y \frac{5}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Paso 1.2.3.1.2

Combina $y$ y $\frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{y \cdot 5}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Paso 1.2.3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 \cdot y}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Paso 1.2.3.1.4

Combina $\frac{5}{2}$ y $y$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Paso 1.2.3.1.5

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}$ .

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Paso 1.2.3.1.5.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 2}) = 0$

Paso 1.2.3.1.5.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{2 \cdot 2}) = 0$

Paso 1.2.3.1.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4}) = 0$

Paso 1.2.3.2

Suma $\frac{5 y}{2}$ y $\frac{5 y}{2}$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + 2 \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4}) = 0$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 12 (y^{2} + 2 \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4}) = 0$

Paso 1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 12 (y^{2} + 5 y + \frac{25}{4}) = 0$

Paso 1.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 12 y^{2} - 12 (5 y) - 12 (\frac{25}{4}) = 0$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $5$ por $- 12$ .

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y - 12 (\frac{25}{4}) = 0$

Paso 1.2.6.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y + 4 (- 3) \frac{25}{4} = 0$

Paso 1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y + 4 \cdot - 3 \frac{25}{4} = 0$

Paso 1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y - 3 \cdot 25 = 0$

Paso 1.2.6.3

Multiplica $- 3$ por $25$ .

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y - 75 = 0$

Paso 2

Suma $75$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y = 75$

Paso 3

Completa el cuadrado de $- 12 y^{2} - 60 y$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 12$

$b = - 60$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 60}{2 \cdot - 12}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 60$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 60$ .

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 \cdot - 12}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 (- 12)}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 \cdot - 12}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 30}{- 12}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 30$ y $- 12$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $- 6$ de $- 30$ .

$d = \frac{- 6 (5)}{- 12}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.2.1

Factoriza $- 6$ de $- 12$ .

$d = \frac{- 6 \cdot 5}{- 6 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 6 \cdot 5}{- 6 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{2}$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 60)}^{2}}{4 \cdot - 12}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $- 60$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{3600}{4 \cdot - 12}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$e = 0 - \frac{3600}{- 48}$

Paso 3.4.2.1.3

Divide $3600$ por $- 48$ .

$e = 0 - - 75$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 75$ .

$e = 0 + 75$

Paso 3.4.2.2

Suma $0$ y $75$ .

$e = 75$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75$ .

$- 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75$

Paso 4

Sustituye $- 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75$ por $- 12 y^{2} - 60 y$ en la ecuación $x^{2} - 12 y^{2} - 60 y = 75$ .

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75 = 75$

Paso 5

Mueve $75$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $75$ a ambos lados.

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 75 - 75$

Paso 6

Resta $75$ de $75$ .

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 0$

Paso 7

Divide cada término por $0$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{x^{2}}{0} - \frac{12 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{0} = \frac{0}{0}$

Paso 8

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$x^{2} - {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 1$