Álgebra Ejemplos

$\frac{7 - x}{7 - x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{64 - x^{2}} \div \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{7 - x}{7 - x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{64 - x^{2}} \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $7 - x$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 - x}{7 - x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{64 - x^{2}} \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 \cdot \frac{x^{2} - 1}{64 - x^{2}} \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{x^{2} - 1}{64 - x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{64 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{64 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{64 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{8^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8$ y $b = x$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + 12 x + 32$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $12$ .

$4, 8$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 8)}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 6

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 8)}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $x - 1$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 8)}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 8)}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 7.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 8)}{x + 4}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{x + 1}{(8 + x) (8 - x)}$ por $\frac{(x + 4) (x + 8)}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 4) (x + 8))}{(8 + x) (8 - x) (x + 4)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) ((x + 4) (x + 8))}{(8 + x) (8 - x) (x + 4)}$

Paso 7.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 1) (x + 8)}{(8 + x) (8 - x)}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $x + 8$ y $8 + x$ .

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Paso 7.4.1

Reordena los términos.

$\frac{(x + 1) (x + 8)}{(x + 8) (8 - x)}$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x + 8)}{(x + 8) (8 - x)}$

Paso 7.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{8 - x}$