Álgebra Ejemplos

$\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5}) = \log_{5} (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Simplifica $\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ .

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Paso 2.1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}})$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{125}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 2.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.3.1

Multiplica $\frac{125}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Paso 2.1.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Paso 2.1.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Paso 2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Paso 2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Paso 2.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 2.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 2.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 2.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 2.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{1}})$

Paso 2.1.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5})$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $125$ y $5$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $5$ de $125 \sqrt{5}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5})$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 (1)})$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 \cdot 1})$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{25 \sqrt{5}}{1})$

Paso 2.1.4.2.4

Divide $25 \sqrt{5}$ por $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (25 \sqrt{5})$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x = 25 \sqrt{5}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 25 \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 55.90169943 \dots$