Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{2 - x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x}{2 - x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x}{2 - x} + \frac{3 x + 5}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{x}{2 - x} + \frac{3 x + 5}{(x + 2) (- 1 (- x) - 2)}$

Paso 2.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{x}{2 - x} + \frac{3 x + 5}{(x + 2) (- 1 (- x) - 1 (2))}$

Paso 2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$\frac{x}{2 - x} + \frac{3 x + 5}{(x + 2) (- 1 (- x + 2))}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Mueve un negativo del denominador de $\frac{3 x + 5}{(x + 2) (- 1 (- x + 2))}$ al numerador.

$\frac{x}{2 - x} + \frac{- (3 x + 5)}{(x + 2) (- x + 2)}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$\frac{x}{- x + 2} + \frac{- (3 x + 5)}{(x + 2) (- x + 2)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{x}{- x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x}{- x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{- (3 x + 5)}{(x + 2) (- x + 2)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(- x + 2) (x + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{- x + 2}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x (x + 2)}{(- x + 2) (x + 2)} + \frac{- (3 x + 5)}{(x + 2) (- x + 2)}$

Paso 4.2

Reordena los factores de $(x + 2) (- x + 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{(- x + 2) (x + 2)} + \frac{- (3 x + 5)}{(- x + 2) (x + 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x + 2) - (3 x + 5)}{(- x + 2) (x + 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - (3 x + 5)}{(- x + 2) (x + 2)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - (3 x + 5)}{(- x + 2) (x + 2)}$

Paso 6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - (3 x + 5)}{(- x + 2) (x + 2)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x - (3 x) - 1 \cdot 5}{(- x + 2) (x + 2)}$

Paso 6.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 x - 1 \cdot 5}{(- x + 2) (x + 2)}$

Paso 6.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 x - 5}{(- x + 2) (x + 2)}$

Paso 6.7

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 5}{(- x + 2) (x + 2)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 5}{(- (x) + 2) (x + 2)}$

Paso 7.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x^{2} - x - 5}{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 2)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x^{2} - x - 5}{- (x - 2) (x + 2)}$

Paso 7.4

Reescribe los negativos.

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Paso 7.4.1

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x^{2} - x - 5}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Paso 7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} - x - 5}{(x - 2) (x + 2)}$