Álgebra Ejemplos

$5^{x + 4} = y$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $y = 5^{x + 4}$ .

$y = 5^{x + 4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5^{y + 4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5^{y + 4} = x$ .

$5^{y + 4} = x$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{y + 4}) = \ln (x)$

Paso 3.3

Expande $\ln (5^{y + 4})$ ; para ello, mueve $y + 4$ fuera del logaritmo.

$(y + 4) \ln (5) = \ln (x)$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) = \ln (x)$

Paso 3.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) - \ln (x) = 0$

Paso 3.6

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.6.1

Resta $4 \ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$y \ln (5) - \ln (x) = - 4 \ln (5)$

Paso 3.6.2

Suma $\ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$

Paso 3.7

Divide cada término en $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ por $\ln (5)$ y simplifica.

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Paso 3.7.1

Divide cada término en $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 3.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 3.7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 3.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.3.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 3.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 3.7.3.1.2

Divide $- 4$ por $1$ .

$y = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = 5^{x + 4}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 5^{x + 4}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{\ln (5^{x + 4})}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Expande $\ln (5^{x + 4})$ ; para ello, mueve $x + 4$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x + 4$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + x + 4$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $- 4 + x + 4$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4}$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4$ .

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Paso 5.3.3.2

Suma $0$ y $\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Paso 5.3.4

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Paso 5.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = 5^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$