Álgebra Ejemplos

$\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}} = 2 x$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}}}^{4} = {(2 x)}^{4}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}}$ como ${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(2 x)}^{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(2 x)}^{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(2 x)}^{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 - 8 x^{2})}^{1} = {(2 x)}^{4}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$3 - 8 x^{2} = {(2 x)}^{4}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(2 x)}^{4}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$3 - 8 x^{2} = 2^{4} x^{4}$

Paso 2.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$3 - 8 x^{2} = 16 x^{4}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $16 x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 - 8 x^{2} - 16 x^{4} = 0$

Paso 3.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 16 u^{2} - 8 u + 3$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 16 u^{2}$ .

$- (16 u^{2}) - 8 u + 3 = 0$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 8 u$ .

$- (16 u^{2}) - (8 u) + 3 = 0$

Paso 3.3.1.3

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (16 u^{2}) - (8 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (16 u^{2}) - (8 u)$ .

$- (16 u^{2} + 8 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (16 u^{2} + 8 u) - 1 (- 3)$ .

$- (16 u^{2} + 8 u - 3) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza.

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Paso 3.3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Factoriza $8$ de $8 u$ .

$- (16 u^{2} + 8 (u) - 3) = 0$

Paso 3.3.2.1.1.2

Reescribe $8$ como $- 4$ más $12$

$- (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3) = 0$

Paso 3.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3) = 0$

Paso 3.3.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3) = 0$

Paso 3.3.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1)) = 0$

Paso 3.3.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$- ((4 u - 1) (4 u + 3)) = 0$

Paso 3.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (4 u - 1) (4 u + 3) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$4 u + 3 = 0$

Paso 3.5

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $4 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 u = 1$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Paso 3.6

Establece $4 u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.6.1

Establece $4 u + 3$ igual a $0$ .

$4 u + 3 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $4 u + 3 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.6.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$4 u = - 3$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $4 u = - 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $4 u = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 3}{4}$

Paso 3.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{3}{4}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (4 u - 1) (4 u + 3) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{4}, - \frac{3}{4}$

Paso 3.8

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{3}{4}$

Paso 3.9

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Paso 3.10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.10.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 3.10.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 3.10.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 3.10.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 3.10.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.10.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 3.10.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Paso 3.10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3.10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 3.10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 3.11

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - \frac{3}{4}$

Paso 3.12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.12.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Paso 3.12.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Paso 3.12.3

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Paso 3.12.3.1

Reescribe $- \frac{3}{4}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.12.3.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Paso 3.12.3.1.2

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Paso 3.12.3.1.3

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 3.12.3.1.4

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Paso 3.12.3.1.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Paso 3.12.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Paso 3.12.3.3

Combina $\frac{i}{2}$ y $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.13

La solución a $- 16 x^{4} - 8 x^{2} + 3 = 0$ es $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$