Álgebra Ejemplos

$\frac{2 \tan (\frac{π}{6})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{6})}$

Paso 1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{6})}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{π}{6})}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \tan (\frac{π}{6})$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(1 + \tan (\frac{π}{6})) (1 - \tan (\frac{π}{6}))}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \tan (\frac{π}{6}))}$

Paso 2.3.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{(\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} (\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (3 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3^{1}}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 3}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.2

Resta $3$ de $9$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.3

Suma $- 3 \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 0}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.2.4

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{3 \cdot 3}}$

Paso 5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (2)}{9}}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Paso 8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{3}$

Forma decimal:

$1.73205080 \dots$