Álgebra Ejemplos

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Paso 1

Dado que $x = r \cos (θ)$ , reemplaza $x$ por $r \cos (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Paso 2

Dado que $y = r \sin (θ)$ , reemplaza $y$ por $r \sin (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} = 25$

Paso 3

Resuelve $r$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Reescribe ${(r \cos (θ) - 3)}^{2}$ como $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ .

$(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.2

Expande $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - 3) - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1.1

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1.1.1

Mueve $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.3.1.1.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.3.1.2

Multiplica $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1.2.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.3.1.2.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.3.1.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 \cdot (r \cos (θ)) - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 r \cos (θ) - 3 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.3.2

Resta $3 r \cos (θ)$ de $- 3 r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Paso 3.2.1.4

Reescribe ${(r \sin (θ) + 4)}^{2}$ como $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + (r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Paso 3.2.1.5

Expande $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ) + 4) + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Paso 3.2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Paso 3.2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Paso 3.2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.6.1.1

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.6.1.1.1

Mueve $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Paso 3.2.1.6.1.1.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Paso 3.2.1.6.1.2

Multiplica $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.6.1.2.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Paso 3.2.1.6.1.2.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Paso 3.2.1.6.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Paso 3.2.1.6.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Paso 3.2.1.6.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 \cdot (r \sin (θ)) + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Paso 3.2.1.6.1.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \sin (θ) + 4 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Paso 3.2.1.6.2

Suma $4 r \sin (θ)$ y $4 r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Paso 3.2.2

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Mueve $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Paso 3.2.2.4

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Paso 3.2.3

Reorganiza los términos.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Paso 3.2.4

Aplica la identidad pitagórica.

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Paso 3.2.5

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Multiplica $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Paso 3.2.5.2

Suma $9$ y $16$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25 = 0$

Paso 3.2.5.3

Combina los términos opuestos en $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.3.1

Resta $25$ de $25$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 0 = 0$

Paso 3.2.5.3.2

Suma $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ y $0$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.3

Factoriza $r$ de $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Factoriza $r$ de $r^{2}$ .

$r \cdot r - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $r$ de $- 6 r \cos (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + 8 r \sin (θ) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza $r$ de $8 r \sin (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Paso 3.3.4

Factoriza $r$ de $r \cdot r + r (- 6 \cos (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Paso 3.3.5

Factoriza $r$ de $r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r = 0$

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Paso 3.5

Establece $r$ igual a $0$ .

$r = 0$

Paso 3.6

Establece $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Establece $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ igual a $0$ .

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Paso 3.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $r$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1

Suma $6 \cos (θ)$ a ambos lados de la ecuación.

$r + 8 \sin (θ) = 6 \cos (θ)$

Paso 3.6.2.2

Resta $8 \sin (θ)$ de ambos lados de la ecuación.

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$ verdadera.

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$