Álgebra Ejemplos

$x^{2} - y^{2} = 1$

Paso 1

Dado que $x = r \cos (θ)$ , reemplaza $x$ por $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - y^{2} = 1$

Paso 2

Dado que $y = r \sin (θ)$ , reemplaza $y$ por $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2} = 1$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica ${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = r \cos (θ)$ y $b = r \sin (θ)$ .

$(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - (r \sin (θ))) = 1$

Paso 3.1.1.2

Expande $(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - r \sin (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.1.3.1

Combina los términos opuestos en $r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ))$ .

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Paso 3.1.1.3.1.1

Reordena los factores en los términos $r \cos (θ) (- r \sin (θ))$ y $r \sin (θ) (r \cos (θ))$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) - r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.1.2

Suma $- r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ y $r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + 0 + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.1.3

Suma $r \cos (θ) (r \cos (θ))$ y $0$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.3.2.1

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.3.2.1.1

Mueve $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.1.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.2

Multiplica $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 3.1.1.3.2.2.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.2.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r \sin (θ) r \sin (θ) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.4

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.3.2.4.1

Mueve $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - (r \cdot r) \sin (θ) \sin (θ) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.4.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin (θ) \sin (θ) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.5

Multiplica $- r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 3.1.1.3.2.5.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.5.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) = 1$

Paso 3.1.1.3.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} = 1$

Paso 3.1.1.3.2.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) = 1$

Paso 3.2

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $r^{2}$ de $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

Paso 3.2.2

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) - 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

Paso 3.3

Factoriza.

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Paso 3.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (θ)$ y $b = \sin (θ)$ .

$r^{2} ((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))) = 1$

Paso 3.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$

Paso 3.4

Divide cada término en $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ por $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ por $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $\cos (θ) + \sin (θ)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común de $\cos (θ) - \sin (θ)$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Paso 3.4.2.2.2

Divide $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Paso 3.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Paso 3.6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Paso 3.6.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Paso 3.6.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ por $\frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}} \cdot \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Paso 3.6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.6.4.1

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Paso 3.6.4.2

Eleva $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ a la potencia de $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Paso 3.6.4.3

Eleva $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ a la potencia de $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} {\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1}}$

Paso 3.6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1 + 1}}$

Paso 3.6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}}$

Paso 3.6.4.6

Reescribe ${\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}$ como $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

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Paso 3.6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ como ${((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{({((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{1}}$

Paso 3.6.4.6.5

Simplifica.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Paso 3.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Paso 3.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Paso 3.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$