Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \div \frac{x^{2} - x - 56}{x + 7}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 10 x^{2} + 25 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 10 x^{2} + 25 x}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (10 x) + 25 x}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $25 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (10 x)$ .

$\frac{x (x^{2} + 10 x) + x \cdot 25}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 10 x) + x \cdot 25$ .

$\frac{x (x^{2} + 10 x + 25)}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 3

Factoriza $x$ de $x^{2} + 5 x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x \cdot x + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot 5} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 8$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x (x + 5)} \cdot \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + 13 x + 40$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $40$ y cuya suma es $13$ .

$5, 8$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x (x + 5)} \cdot \frac{(x + 8) (x - 8)}{(x + 5) (x + 8)} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{x {(x + 5)}^{2} ((x + 8) (x - 8))}{x (x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x {(x + 5)}^{2} ((x + 8) (x - 8))}{x (x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + 5)}^{2} ((x + 8) (x - 8))}{(x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de ${(x + 5)}^{2}$ y $x + 5$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $x + 5$ de ${(x + 5)}^{2} ((x + 8) (x - 8))$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) ((x + 8) (x - 8)))}{(x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) ((x + 8) (x - 8)))}{(x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 5) ((x + 8) (x - 8))}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) ((x + 8) (x - 8))}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x + 8} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $x + 8$ .

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Paso 6.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x + 8} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 6.5.2

Divide $x - 8$ por $1$ .

$(x - 8) \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Paso 7

Factoriza $x^{2} - x - 56$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 56$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 8, 7$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 8) \frac{x + 7}{(x - 8) (x + 7)}$

Paso 8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $x - 8$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$(x - 8) \frac{x + 7}{(x - 8) (x + 7)}$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 7}{x + 7}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 7}{x + 7}$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$1$