Álgebra Ejemplos

$2 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\frac{4}{3}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$2 {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 u^{2} - u - 6 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 6 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 1$ como $3$ más $- 4$

$2 u^{2} + (3 - 4) u - 6 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 3 u - 4 u - 6 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} + 3 u) - 4 u - 6 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u + 3) - 2 (2 u + 3) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 2) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(2 x^{\frac{2}{3}} + 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Paso 3

Establece $2 x^{\frac{2}{3}} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $2 x^{\frac{2}{3}} + 3$ igual a $0$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{\frac{2}{3}} = - 3$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(2 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.3

Simplifica.

$2^{\frac{3}{2}} x = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.4

Reordena los factores en $2^{\frac{3}{2}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4.2

Divide cada término en $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ por $2^{\frac{3}{2}}$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.2.1

Divide cada término en $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.2.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.2.4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4.4

Divide cada término en $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ por $2^{\frac{3}{2}}$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.4.1

Divide cada término en $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.2.4.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.2.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Establece $x^{\frac{2}{3}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{\frac{2}{3}} - 2$ igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{2}{3}} = 2$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.2

Simplifica.

$x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x^{\frac{2}{3}} + 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $2 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$ sea verdadera.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 7