Álgebra Ejemplos

$y = x - \frac{1}{x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $x - \frac{1}{x}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Combinar.

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Paso 5.1.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}$

Paso 5.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x \cdot x - 1}{x}$

Paso 5.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x - 1}{x}$

Paso 5.1.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x}$

Paso 5.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 1}{x}$

Paso 5.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Paso 5.1.3.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

Paso 5.1.3.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

Paso 5.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

Paso 5.3

Expande $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x}$

Paso 5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Paso 5.3.4

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Paso 5.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Paso 5.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Paso 5.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Paso 5.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Paso 5.3.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x}$

Paso 5.3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x}$

Paso 5.3.11

Suma $- 1 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{x}$

Paso 5.3.12

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Paso 5.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 5.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Paso 5.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Paso 5.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Paso 5.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Paso 5.9

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Paso 5.10

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x - \frac{1}{x}$

Paso 5.11

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x$

Paso 7