Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{3 x - 5} \leq \frac{2}{x - 1}$

Paso 1

Resta $\frac{2}{x - 1}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{x}{3 x - 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{2}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 x - 5) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{x}{3 x - 5}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{2}{x - 1}$ por $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(x - 1) (3 x - 5)} \leq 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 1) (3 x - 5)$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - 1) - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.7

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.8

Resta $6 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.9

Factoriza $x^{2} - 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 2.5.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 5, - 2$

Paso 2.5.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 5

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 5$

Paso 7

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Paso 8

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 5$

$x = 2$

$x = \frac{5}{3}$

$x = 1$

Paso 10

Consolida las soluciones.

$x = 5, 2, \frac{5}{3}, 1$

Paso 11

Obtén el dominio de $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ .

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Paso 11.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(3 x - 5) (x - 1) = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x$

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Paso 11.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 11.2.2

Establece $3 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.2.2.1

Establece $3 x - 5$ igual a $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Paso 11.2.2.2

Resuelve $3 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.2.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 5$

Paso 11.2.2.2.2

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 11.2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 11.2.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Paso 11.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 11.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 11.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 5) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{5}{3}, 1$

Paso 11.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1$

$1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 13.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{0}{3 (0) - 5} \leq \frac{2}{(0) - 1}$

Paso 13.1.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < \frac{5}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < \frac{5}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.33$

Paso 13.2.2

Reemplaza $x$ con $1.33$ en la desigualdad original.

$\frac{1.33}{3 (1.33) - 5} \leq \frac{2}{(1.33) - 1}$

Paso 13.2.3

$- 1.\overline{3168}$ del lado izquierdo es menor que $6.\overline{06}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5}{3} < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5}{3} < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.83$

Paso 13.3.2

Reemplaza $x$ con $1.83$ en la desigualdad original.

$\frac{1.83}{3 (1.83) - 5} \leq \frac{2}{(1.83) - 1}$

Paso 13.3.3

$3.73469387$ del lado izquierdo es mayor que $2.40963855$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.4

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.4.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 13.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{3 (4) - 5} \leq \frac{2}{(4) - 1}$

Paso 13.4.3

$0.\overline{571428}$ del lado izquierdo es menor que $0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 13.5.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{8}{3 (8) - 5} \leq \frac{2}{(8) - 1}$

Paso 13.5.3

$0.42105263$ del lado izquierdo es mayor que $0.\overline{285714}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{3}$ Verdadero

$\frac{5}{3} < x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{3}$ Verdadero

$\frac{5}{3} < x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1 < x < \frac{5}{3}$ o $2 \leq x \leq 5$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$1 < x < \frac{5}{3} or 2 \leq x \leq 5$

Notación de intervalo:

$(1, \frac{5}{3}) \cup [2, 5]$

Paso 16