Álgebra Ejemplos

$z = - 1 + \sqrt{3} i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = - 1$ y $b = \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.1.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{3 + 1}$

Paso 4.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Paso 4.2.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 2$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{- 1})$

Paso 6

Como la tangente inversa de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 7

Sustituye los valores de $θ = \frac{2 π}{3}$ y $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 8

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$z = 2 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$