Álgebra Ejemplos

$x^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Paso 1

Sustituye $u$ por $x^{4}$ .

$u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = - 2$ y $b = 2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5

Obtén $| z |$ .

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{12 + 4}$

Paso 5.3.3

Suma $12$ y $4$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Paso 5.3.4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 4$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{3}}{- 2})$

Paso 7

Como la tangente inversa de $\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{2 π}{3}$ y $| z | = 4$ .

$4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 9

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$u^{4} = 4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 10

Usa el teorema de DeMoivre para obtener una ecuación para $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = - 2 + 2 \sqrt{3} i = 4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 11

Iguala el módulo de la forma trigonométrica a $r^{4}$ para obtener el valor de $r$ .

$r^{4} = 4$

Paso 12

Resuelve la ecuación en $r$ .

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Paso 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{4}$

Paso 12.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{4}$ .

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Paso 12.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

Paso 12.2.2

Reescribe $\sqrt[4]{2^{2}}$ como $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$r = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 12.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \pm \sqrt{2}$

Paso 12.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = \sqrt{2}$

Paso 12.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - \sqrt{2}$

Paso 12.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 13

Obtén el valor aproximado de $r$ .

$r = 1.41421356$

Paso 14

Obtén los posibles valores de $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{2 π}{3} + 2 π n)$ y $s i n (4 θ) = s i n (\frac{2 π}{3} + 2 π n)$

Paso 15

Obtención de todos los valores posibles de $θ$ conduce a la ecuación $4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$

Paso 16

Obtén el valor de $θ$ para $r = 0$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Paso 17

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 17.1

Simplifica.

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Paso 17.1.1

Multiplica $2 π \cdot 0$ .

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Paso 17.1.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 0 π$

Paso 17.1.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 0$

Paso 17.1.2

Suma $\frac{2 π}{3}$ y $0$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 17.2

Divide cada término en $4 θ = \frac{2 π}{3}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 17.2.1

Divide cada término en $4 θ = \frac{2 π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Paso 17.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 17.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 17.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Paso 17.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Paso 17.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 17.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 17.2.3.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Paso 17.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 17.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 17.2.3.3

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Paso 17.2.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Paso 18

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$u_{0} = 1.41421356 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 19

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 19.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Paso 19.1.3

Combina $i$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Paso 19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

Paso 19.3

Multiplica $1.41421356 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 19.3.1

Combina $1.41421356$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.41421356 \sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

Paso 19.3.2

Multiplica $1.41421356$ por $\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.44948974}{2} + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

Paso 19.4

Combina $1.41421356$ y $\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.44948974}{2} + \frac{1.41421356 i}{2}$

Paso 19.5

Simplifica cada término.

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Paso 19.5.1

Divide $2.44948974$ por $2$ .

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 i}{2}$

Paso 19.5.2

Factoriza $1.41421356$ de $1.41421356 i$ .

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 (i)}{2}$

Paso 19.5.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 (i)}{2 (1)}$

Paso 19.5.4

Separa las fracciones.

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Paso 19.5.5

Divide $1.41421356$ por $2$ .

$u_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 (\frac{i}{1})$

Paso 19.5.6

Divide $i$ por $1$ .

$u_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 i$

Paso 20

Sustituye $x^{4}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{0} = 0 + 1.22474487 + 0.70710678 i$

Paso 21

Obtén el valor de $θ$ para $r = 1$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (1)$

Paso 22

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 22.1

Simplifica.

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Paso 22.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π$

Paso 22.1.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}$

Paso 22.1.3

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}$

Paso 22.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 θ = \frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}$

Paso 22.1.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 θ = \frac{2 π + 6 π}{3}$

Paso 22.1.6

Suma $2 π$ y $6 π$ .

$4 θ = \frac{8 π}{3}$

Paso 22.2

Divide cada término en $4 θ = \frac{8 π}{3}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 22.2.1

Divide cada término en $4 θ = \frac{8 π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

Paso 22.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 22.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 22.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

Paso 22.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

Paso 22.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 22.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 22.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 22.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $8 π$ .

$θ = \frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 22.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 22.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 23

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$u_{1} = 1.41421356 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 24

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 24.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{1} = 1.41421356 (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 24.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 24.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 24.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Paso 24.1.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 24.2

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2}) + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 24.3

Multiplica $1.41421356 (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 24.3.1

Multiplica $- 1$ por $1.41421356$ .

$u_{1} = - 1.41421356 (\frac{1}{2}) + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 24.3.2

Combina $- 1.41421356$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 24.4

Multiplica $1.41421356 \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 24.4.1

Combina $1.41421356$ y $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + \frac{1.41421356 (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 24.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1.41421356$ .

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + \frac{2.44948974 i}{2}$

Paso 24.5

Simplifica cada término.

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Paso 24.5.1

Divide $- 1.41421356$ por $2$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 i}{2}$

Paso 24.5.2

Factoriza $2.44948974$ de $2.44948974 i$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 (i)}{2}$

Paso 24.5.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 (i)}{2 (1)}$

Paso 24.5.4

Separa las fracciones.

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Paso 24.5.5

Divide $2.44948974$ por $2$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 (\frac{i}{1})$

Paso 24.5.6

Divide $i$ por $1$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 i$

Paso 25

Sustituye $x^{4}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{1} = 0 - 0.70710678 + 1.22474487 i$

Paso 26

Obtén el valor de $θ$ para $r = 2$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (2)$

Paso 27

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 27.1

Simplifica.

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Paso 27.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 4 π$

Paso 27.1.2

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}$

Paso 27.1.3

Combina $4 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}$

Paso 27.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 θ = \frac{2 π + 4 π \cdot 3}{3}$

Paso 27.1.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$4 θ = \frac{2 π + 12 π}{3}$

Paso 27.1.6

Suma $2 π$ y $12 π$ .

$4 θ = \frac{14 π}{3}$

Paso 27.2

Divide cada término en $4 θ = \frac{14 π}{3}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 27.2.1

Divide cada término en $4 θ = \frac{14 π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

Paso 27.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 27.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

Paso 27.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

Paso 27.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{14 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 27.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $14 π$ .

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 27.2.3.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Paso 27.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 27.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 27.2.3.3

Multiplica $\frac{7 π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{3 \cdot 2}$

Paso 27.2.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Paso 28

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$u_{2} = 1.41421356 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

Paso 29

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 29.1

Simplifica cada término.

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Paso 29.1.1

$u_{2} = 1.41421356 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

Paso 29.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

Paso 29.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \sin (\frac{π}{6})))$

Paso 29.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \frac{1}{2}))$

Paso 29.1.5

Combina $i$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})$

Paso 29.2

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

Paso 29.3

Multiplica $1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 29.3.1

Multiplica $- 1$ por $1.41421356$ .

$u_{2} = - 1.41421356 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

Paso 29.3.2

Combina $- 1.41421356$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{- 1.41421356 \sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

Paso 29.3.3

Multiplica $- 1.41421356$ por $\sqrt{3}$ .

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

Paso 29.4

Multiplica $1.41421356 (- \frac{i}{2})$ .

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Paso 29.4.1

Multiplica $- 1$ por $1.41421356$ .

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} - 1.41421356 \frac{i}{2}$

Paso 29.4.2

Combina $- 1.41421356$ y $\frac{i}{2}$ .

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} + \frac{- 1.41421356 i}{2}$

Paso 29.5

Simplifica cada término.

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Paso 29.5.1

Divide $- 2.44948974$ por $2$ .

$u_{2} = - 1.22474487 + \frac{- 1.41421356 i}{2}$

Paso 29.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{(1.41421356) i}{2}$

Paso 29.5.3

Factoriza $1.41421356$ de $1.41421356 i$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{1.41421356 (i)}{2}$

Paso 29.5.4

Factoriza $2$ de $2$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{1.41421356 (i)}{2 (1)}$

Paso 29.5.5

Separa las fracciones.

$u_{2} = - 1.22474487 - (\frac{1.41421356}{2} \cdot \frac{i}{1})$

Paso 29.5.6

Divide $1.41421356$ por $2$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - (0.70710678 (\frac{i}{1}))$

Paso 29.5.7

Divide $i$ por $1$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - (0.70710678 i)$

Paso 29.5.8

Multiplica $0.70710678$ por $- 1$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - 0.70710678 i$

Paso 30

Sustituye $x^{4}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{2} = 0 - 1.22474487 - 0.70710678 i$

Paso 31

Obtén el valor de $θ$ para $r = 3$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (3)$

Paso 32

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 32.1

Simplifica.

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Paso 32.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 6 π$

Paso 32.1.2

Para escribir $6 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 6 π \cdot \frac{3}{3}$

Paso 32.1.3

Combina $6 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{6 π \cdot 3}{3}$

Paso 32.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 θ = \frac{2 π + 6 π \cdot 3}{3}$

Paso 32.1.5

Multiplica $3$ por $6$ .

$4 θ = \frac{2 π + 18 π}{3}$

Paso 32.1.6

Suma $2 π$ y $18 π$ .

$4 θ = \frac{20 π}{3}$

Paso 32.2

Divide cada término en $4 θ = \frac{20 π}{3}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 32.2.1

Divide cada término en $4 θ = \frac{20 π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

Paso 32.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 32.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 32.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

Paso 32.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

Paso 32.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 32.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 32.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 32.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $20 π$ .

$θ = \frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 32.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 32.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Paso 33

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$u_{3} = 1.41421356 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Paso 34

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 34.1

Simplifica cada término.

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Paso 34.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{3} = 1.41421356 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Paso 34.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Paso 34.1.3

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3})))$

Paso 34.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Paso 34.1.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 34.2

Simplifica los términos.

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Paso 34.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2}) + 1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 34.2.2

Combina $1.41421356$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + 1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 34.3

Multiplica $1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$ .

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Paso 34.3.1

Multiplica $- 1$ por $1.41421356$ .

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} - 1.41421356 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 34.3.2

Combina $- 1.41421356$ y $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + \frac{- 1.41421356 (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 34.3.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $- 1.41421356$ .

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + \frac{- 2.44948974 i}{2}$

Paso 34.4

Simplifica cada término.

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Paso 34.4.1

Divide $1.41421356$ por $2$ .

$u_{3} = 0.70710678 + \frac{- 2.44948974 i}{2}$

Paso 34.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{(2.44948974) i}{2}$

Paso 34.4.3

Factoriza $2.44948974$ de $2.44948974 i$ .

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{2.44948974 (i)}{2}$

Paso 34.4.4

Factoriza $2$ de $2$ .

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{2.44948974 (i)}{2 (1)}$

Paso 34.4.5

Separa las fracciones.

$u_{3} = 0.70710678 - (\frac{2.44948974}{2} \cdot \frac{i}{1})$

Paso 34.4.6

Divide $2.44948974$ por $2$ .

$u_{3} = 0.70710678 - (1.22474487 (\frac{i}{1}))$

Paso 34.4.7

Divide $i$ por $1$ .

$u_{3} = 0.70710678 - (1.22474487 i)$

Paso 34.4.8

Multiplica $1.22474487$ por $- 1$ .

$u_{3} = 0.70710678 - 1.22474487 i$

Paso 35

Sustituye $x^{4}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{3} = 0 + 0.70710678 - 1.22474487 i$

Paso 36

Estas son las soluciones complejas a $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$z_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 i$

$z_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 i$

$z_{2} = - 1.22474487 - 0.70710678 i$

$z_{3} = 0.70710678 - 1.22474487 i$