Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x^{2} + 2 x}{\frac{x^{2} + x - 2}{\frac{8 x^{2} + 4 x}{3 x^{2} + 10 x + 8}}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{8 x^{2} + 4 x}{3 x^{2} + 10 x + 8}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 2

Factoriza $4 x$ de $8 x^{2} + 4 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $4 x$ de $8 x^{2}$ .

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x) + 4 x}{3 x^{2} + 10 x + 8}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 2.2

Factoriza $4 x$ de $4 x$ .

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x) + 4 x (1)}{3 x^{2} + 10 x + 8}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (2 x) + 4 x (1)$ .

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x + 1)}{3 x^{2} + 10 x + 8}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ y cuya suma es $b = 10$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x + 1)}{3 x^{2} + 10 (x) + 8}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.1.2

Reescribe $10$ como $4$ más $6$

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x + 1)}{3 x^{2} + (4 + 6) x + 8}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x + 1)}{3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x^{2} + 4 x) + 6 x + 8}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x + 1)}{x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4)}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 4$ .

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) (x + 2)}}{x^{2} + x - 2}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{\frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) (x + 2)}}{(x - 1) (x + 2)}$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(4 x^{2} + 2 x) (\frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) (x + 2)} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 2)})$

Paso 6

Multiplica $\frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) (x + 2)} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 2)}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) (x + 2)}$ por $\frac{1}{(x - 1) (x + 2)}$ .

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) (x + 2) ((x - 1) (x + 2))}$

Paso 6.2

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) ({(x + 2)}^{1} (x + 2)) (x - 1)}$

Paso 6.3

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1}) (x - 1)}$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{1 + 1} (x - 1)}$

Paso 6.5

Suma $1$ y $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x) \frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 7

Multiplica $4 x^{2} + 2 x$ por $\frac{4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 2 x) (4 x (2 x + 1))}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{(2 x (2 x) + 2 x) \cdot 4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.1.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{(2 x (2 x) + 2 x (1)) \cdot 4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (2 x + 1) \cdot 4 x (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.2

Combina exponentes.

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Paso 8.2.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x (2 x + 1) x (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (x^{1} x) (2 x + 1) (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (x^{1} x^{1}) (2 x + 1) (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x^{1 + 1} (2 x + 1) (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 x^{2} (2 x + 1) (2 x + 1)}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.2.6

Eleva $2 x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 x^{2} ({(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1))}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.2.7

Eleva $2 x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 x^{2} ({(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1})}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x^{2} {(2 x + 1)}^{1 + 1}}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$

Paso 8.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 x^{2} {(2 x + 1)}^{2}}{(3 x + 4) {(x + 2)}^{2} (x - 1)}$