Álgebra Ejemplos

$x^{6} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 8 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{6} - 2 x^{4}) - 4 x^{2} + 8 = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{4} (x^{2} - 2) - 4 (x^{2} - 2) = 0$

Paso 1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x^{2} - 2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{4} - 4) = 0$

Paso 1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 4) = 0$

Paso 1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 1.5

Factoriza.

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Paso 1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 2$ .

$(x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (x^{2} - 2)) = 0$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 2) (x^{2} + 2) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 1.6

Combina exponentes.

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Paso 1.6.1

Eleva $x^{2} - 2$ a la potencia de $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 1.6.2

Eleva $x^{2} - 2$ a la potencia de $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 1.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} + 2) = 0$

Paso 1.6.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 3

Establece ${(x^{2} - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece ${(x^{2} - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve ${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 3.2.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 3.2.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 3.2.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 3.2.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 3.2.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 4

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 2$

Paso 4.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 4.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 4.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$