Álgebra Ejemplos

$\log_{3} (3 x + 3) - \log_{3} (x - 1) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{3 x + 3}{x - 1}) = 2$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $3 x + 3$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\log_{3} (\frac{3 (x) + 3}{x - 1}) = 2$

Paso 1.2.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\log_{3} (\frac{3 (x) + 3 (1)}{x - 1}) = 2$

Paso 1.2.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (1)$ .

$\log_{3} (\frac{3 (x + 1)}{x - 1}) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{3} (\frac{3 (x + 1)}{x - 1}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = \frac{3 (x + 1)}{x - 1}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$3 (x + 1) = 3^{2} (x - 1)$

Paso 4

Simplifica $3^{2} (x - 1)$ .

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Paso 4.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$3 (x + 1) = 9 (x - 1)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x + 1) = 9 x + 9 \cdot - 1$

Paso 4.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$3 (x + 1) = 9 x - 9$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $9 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 (x + 1) - 9 x = - 9$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 3 \cdot 1 - 9 x = - 9$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x + 3 - 9 x = - 9$

Paso 5.3

Resta $9 x$ de $3 x$ .

$- 6 x + 3 = - 9$

Paso 6

Factoriza $3$ de $- 6 x + 3$ .

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$3 (- 2 x) + 3 = - 9$

Paso 6.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (- 2 x) + 3 (1) = - 9$

Paso 6.3

Factoriza $3$ de $3 (- 2 x) + 3 (1)$ .

$3 (- 2 x + 1) = - 9$

Paso 7

Divide cada término en $3 (- 2 x + 1) = - 9$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 (- 2 x + 1) = - 9$ por $3$ .

$\frac{3 (- 2 x + 1)}{3} = \frac{- 9}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 2 x + 1)}{3} = \frac{- 9}{3}$

Paso 7.2.1.2

Divide $- 2 x + 1$ por $1$ .

$- 2 x + 1 = \frac{- 9}{3}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $- 9$ por $3$ .

$- 2 x + 1 = - 3$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 3 - 1$

Paso 8.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$- 2 x = - 4$

Paso 9

Divide cada término en $- 2 x = - 4$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- 2 x = - 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 2}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Divide $- 4$ por $- 2$ .

$x = 2$