Álgebra Ejemplos

$\frac{2 + \sqrt{- 8}}{1 + i}$

Paso 1

Extrae la unidad imaginaria $i$ .

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Paso 1.1

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1 (8)}}{1 + i}$

Paso 1.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{1 + i}$

Paso 1.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + i}$

Paso 2

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1 i}$ por el conjugado de $1 + 1 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Paso 3

Multiplica.

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Paso 3.1

Combinar.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{8}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{4 (2)}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{(2 + i \cdot (2 \sqrt{2})) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.2

Expande $(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (1 - i) + 2 i \sqrt{2} (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $2 i \sqrt{2} (- i)$ .

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Paso 3.2.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2} i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i) \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{1 + 1} \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 \cdot - 1 \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.3.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.2.4

Reordena $2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Expande $(1 + 1 i) (1 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Paso 3.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Paso 3.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 3.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Paso 3.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Paso 3.3.2.9

Suma $- 1 i$ y $1 i$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - i^{2}}$

Paso 3.3.2.10

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - i^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - - 1}$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1}$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4

Cancela el factor común de $2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}$ y $2$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3

Factoriza $2$ de $- 2 i$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.5

Factoriza $2$ de $2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i) + 2 (i \sqrt{2})}{2}$

Paso 4.6

Factoriza $2$ de $2 (1 - i) + 2 (i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i + i \sqrt{2})}{2}$

Paso 4.7

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i + i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2}$

Paso 4.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.8.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 4.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}}{1}$

Paso 4.8.4

Divide $\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}$