Álgebra Ejemplos

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Paso 1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x + y}{x - y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{1}{x + y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - y) (x + y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x + y}{x - y}$ por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{x + y}$ por $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - y) (x + y)$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + y) (x + y) + x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + y) (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Expande $(x + y) (x + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + y) + y (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x y + y (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x y + y x + y \cdot y + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x y + y x + y \cdot y + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{x^{2} + x y + y x + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.2.2

Suma $x y$ y $y x$ .

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Paso 6.2.2.1

Reordena $y$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + x y + x y + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.2.2.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - x^{2} - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - x^{2} - y^{2}$ .

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Paso 7.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 x y + y^{2} + x - y + 0 - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.2

Suma $2 x y + y^{2} + x - y$ y $0$ .

$\frac{2 x y + y^{2} + x - y - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.3

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{2 x y + x - y + 0}{(x + y) (x - y)}$

Paso 7.4

Suma $2 x y + x - y$ y $0$ .

$\frac{2 x y + x - y}{(x + y) (x - y)}$