Álgebra Ejemplos

$y = 2 \sqrt[3]{x - 5}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 2 \sqrt[3]{y - 5}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ .

$2 \sqrt[3]{y - 5} = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{y - 5}}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt[3]{y - 5}}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\sqrt[3]{y - 5}$ por $1$ .

$\sqrt[3]{y - 5} = \frac{x}{2}$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y - 5}}^{3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y - 5}$ como ${(y - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y - 5)}^{1} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Simplifica.

$y - 5 = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$y - 5 = \frac{x^{3}}{2^{3}}$

Paso 2.4.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y - 5 = \frac{x^{3}}{8}$

Paso 2.5

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x^{3}}{8} + 5$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x - 5})}^{3}}{8} + 5$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x - 5}}^{3}}{8} + 5$

Paso 4.2.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x - 5}}^{3}}{8} + 5$

Paso 4.2.3.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{x - 5}}^{3}$ como $x - 5$ .

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Paso 4.2.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {({(x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8} + 5$

Paso 4.2.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8} + 5$

Paso 4.2.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 5$

Paso 4.2.3.1.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 5$

Paso 4.2.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Paso 4.2.3.1.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Paso 4.2.3.2.2

Divide $x - 5$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x - 5 + 5$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 5 + 5$ .

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Paso 4.2.4.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{3}}{8} + 5)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{(\frac{x^{3}}{8} + 5) - 5}$

Paso 4.3.3

Resta $5$ de $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + 0}$

Paso 4.3.4

Suma $\frac{x^{3}}{8}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Paso 4.3.5

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Paso 4.3.6

Reescribe $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ como ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Paso 4.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$