Álgebra Ejemplos

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$

Paso 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

Paso 2

Establece $\cot (θ) - \sqrt{3}$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 2.1

Establece $\cot (θ) - \sqrt{3}$ igual a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ en $θ$ .

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Paso 2.2.1

Suma $\sqrt{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Paso 2.2.2

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cotangente.

$θ = arccot (\sqrt{3})$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

El valor exacto de $arccot (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Paso 2.2.4

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = π + \frac{π}{6}$

Paso 2.2.5

Simplifica $π + \frac{π}{6}$ .

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Paso 2.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 2.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Paso 2.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Paso 2.2.5.3.2

Suma $6 π$ y $π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Paso 2.2.6

Obtén el período de $\cot (θ)$ .

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Paso 2.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.2.7

El período de la función $\cot (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 3.1

Establece $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ igual a $0$ .

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$ en $θ$ .

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Paso 3.2.1

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Paso 3.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 3.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 3.2.7

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 3.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 3.2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 3.2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 3.2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 3.2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.8.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 3.2.8.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 3.2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Paso 3.2.9

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$ verdadera.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Consolida $\frac{π}{6} + π n$ y $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$