Álgebra Ejemplos

$- 3 = - 2 y^{3} - 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $- 2 y^{3} - 5 = - 3$ .

$- 2 y^{3} - 5 = - 3$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y^{3} = - 3 + 5$

Paso 2.2

Suma $- 3$ y $5$ .

$- 2 y^{3} = 2$

Paso 3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y^{3} - 2 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 y^{3} - 2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 y^{3}$ .

$- 2 y^{3} - 2 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$- 2 y^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 (y^{3}) - 2 (1)$ .

$- 2 (y^{3} + 1) = 0$

Paso 4.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$- 2 (y^{3} + 1^{3}) = 0$

Paso 4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$- 2 ((y + 1) (y^{2} - y \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 4.4

Factoriza.

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Paso 4.4.1

Simplifica.

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 ((y + 1) (y^{2} - y + 1^{2})) = 0$

Paso 4.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 2 ((y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 0$

Paso 4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (y + 1) (y^{2} - y + 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 6

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 6.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 7

Establece $y^{2} - y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.1

Establece $y^{2} - y + 1$ igual a $0$ .

$y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $y^{2} - y + 1 = 0$ en $y$ .

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Paso 7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (y + 1) (y^{2} - y + 1) = 0$ verdadera.

$y = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$