Álgebra Ejemplos

$\log_{3} (1 - x) \geq \log_{3} (x + 16 - x^{2})$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{3} (1 - x) = \log_{3} (x + 16 - x^{2})$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$1 - x = x + 16 - x^{2}$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x + 16 - x^{2} = 1 - x$

Paso 2.2.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x + 16 - x^{2} + x = 1$

Paso 2.2.2.2

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 16 - x^{2} = 1$

Paso 2.2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x + 16 - x^{2} - 1 = 0$

Paso 2.2.4

Resta $1$ de $16$ .

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.5.1

Factoriza $- 1$ de $2 x - x^{2} + 15$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Reordena $2 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0$

Paso 2.2.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 15 = 0$

Paso 2.2.5.1.3

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 15 = 0$

Paso 2.2.5.1.4

Reescribe $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Paso 2.2.5.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Paso 2.2.5.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 15)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Paso 2.2.5.2

Factoriza.

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.2.5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 2.2.5.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 5) (x + 3) = 0$

Paso 2.2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.2.7

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.7.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.2.7.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.2.8

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.8.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.2.8.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.2.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 3$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{3} (\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16})$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{3} (\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$1 - x = 0$

$- x^{2} + x + 16 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 3.2.3

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 3.2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2.5

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 1$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.6

Simplifica.

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Paso 3.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 16$ .

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Paso 3.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.6.1.2.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.6.1.3

Suma $1$ y $64$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$

Paso 3.2.6.3

Simplifica $\frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.2.8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1$

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.2.9

Consolida las soluciones.

$x = 1, \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.2.10

Obtén el dominio de $\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16}$ .

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Paso 3.2.10.1

Establece el denominador en $\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- x^{2} + x + 16 = 0$

Paso 3.2.10.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.10.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2.10.2.2

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 1$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.10.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.10.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.10.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.10.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 16$ .

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Paso 3.2.10.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.10.2.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.10.2.3.1.3

Suma $1$ y $64$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.10.2.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$

Paso 3.2.10.2.3.3

Simplifica $\frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.2.10.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.2.10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{1 - \sqrt{65}}{2}, \frac{1 + \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \infty)$

Paso 3.2.11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.2.12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 3.2.12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{1 - (- 6)}{- {(- 6)}^{2} - 6 + 16} > 0$

Paso 3.2.12.1.3

$- 0.2\overline{692307}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.12.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.12.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.2.12.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{1 - (0)}{- {(0)}^{2} + 0 + 16} > 0$

Paso 3.2.12.2.3

$0.0625$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.12.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.12.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 3.2.12.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{1 - (3)}{- {(3)}^{2} + 3 + 16} > 0$

Paso 3.2.12.3.3

$- 0.2$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Paso 3.2.12.4.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$\frac{1 - (7)}{- {(7)}^{2} + 7 + 16} > 0$

Paso 3.2.12.4.3

$0.\overline{230769}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ Verdadero

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Falso

$x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Verdadero

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ Verdadero

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Falso

$x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Verdadero

Paso 3.2.13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ o $x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.3

Establece el denominador en $\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- x^{2} + x + 16 = 0$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.2

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 1$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 16)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.3

Simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 16$ .

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Paso 3.4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.1.3

Suma $1$ y $64$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica $\frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.4.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(\frac{1 - \sqrt{65}}{2}, 1) \cup (\frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

$\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$

$x > 5$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (1 - (- 6)) \geq \log_{3} ((- 6) + 16 - {(- 6)}^{2})$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado derecho no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3.27$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3.27$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (1 - (- 3.27)) \geq \log_{3} ((- 3.27) + 16 - {(- 3.27)}^{2})$

Paso 5.2.3

$1.32131584$ del lado izquierdo es mayor que $0.64765999$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (1 - (0)) \geq \log_{3} ((0) + 16 - {(0)}^{2})$

Paso 5.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $2.52371901$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.4.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 5.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (1 - (3)) \geq \log_{3} ((3) + 16 - {(3)}^{2})$

Paso 5.4.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.4.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.4.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.5

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.5.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4.77$

Paso 5.5.2

Reemplaza $x$ con $4.77$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (1 - (4.77)) \geq \log_{3} ((4.77) + 16 - {(4.77)}^{2})$

Paso 5.5.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.5.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.6

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.6.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 5.6.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (1 - (8)) \geq \log_{3} ((8) + 16 - {(8)}^{2})$

Paso 5.6.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.6.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.6.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.7

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Falso

$\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ Falso

$x > 5$ Falso

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ Falso

$\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ Falso

$x > 5$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x \leq - 3$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x \leq - 3$

Notación de intervalo:

$(\frac{1 - \sqrt{65}}{2}, - 3]$

Paso 8