Álgebra Ejemplos

$\frac{5}{x} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1

Simplifica $\frac{5}{x} + \frac{6}{5 x}$ .

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{5}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{x} \cdot \frac{5}{5} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $x \cdot 5$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.1

Multiplica $\frac{5}{x}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{x \cdot 5} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 x} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 \cdot 5 + 6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{25 + 6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1.4.2

Suma $25$ y $6$ .

$\frac{31}{5 x} > \frac{2}{3}$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $5 x$ .

$\frac{31}{5 x} (5 x) = \frac{2}{3} (5 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{31}{5 x} (5 x)$ .

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Paso 3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 \frac{31}{5 x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Paso 3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$5 \frac{31}{5 (x)} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Paso 3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{31}{5 x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Paso 3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{31}{x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Paso 3.1.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{31}{x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Paso 3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$31 = \frac{2}{3} (5 x)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{2}{3} (5 x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Combina $5$ y $\frac{2}{3}$ .

$31 = \frac{5 \cdot 2}{3} x$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$31 = \frac{10}{3} x$

Paso 3.2.1.3

Combina $\frac{10}{3}$ y $x$ .

$31 = \frac{10 x}{3}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{10 x}{3} = 31$ .

$\frac{10 x}{3} = 31$

Paso 4.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{10}$ .

$\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3} = \frac{3}{10} \cdot 31$

Paso 4.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1.1

Simplifica $\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3} = \frac{3}{10} \cdot 31$

Paso 4.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{10} (10 x) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Paso 4.3.1.1.2

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 4.3.1.1.2.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$\frac{1}{10} (10 (x)) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Paso 4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{10} (10 x) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Paso 4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{10} \cdot 31$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $\frac{3}{10} \cdot 31$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Combina $\frac{3}{10}$ y $31$ .

$x = \frac{3 \cdot 31}{10}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $31$ .

$x = \frac{93}{10}$

Paso 5

Obtén el dominio de $\frac{31}{5 x} - \frac{2}{3}$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{31}{5 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 x = 0$

Paso 5.2

Divide cada término en $5 x = 0$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $5 x = 0$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{5}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $0$ por $5$ .

$x = 0$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{93}{10}$

$x > \frac{93}{10}$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{5}{- 2} + \frac{6}{5 (- 2)} > \frac{2}{3}$

Paso 7.1.3

$- 3.1$ del lado izquierdo no es mayor que $0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{93}{10}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{93}{10}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\frac{5}{5} + \frac{6}{5 (5)} > \frac{2}{3}$

Paso 7.2.3

$1.24$ del lado izquierdo es mayor que $0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{93}{10}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{93}{10}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\frac{5}{12} + \frac{6}{5 (12)} > \frac{2}{3}$

Paso 7.3.3

$0.51\overline{6}$ del lado izquierdo no es mayor que $0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{93}{10}$ Verdadero

$x > \frac{93}{10}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{93}{10}$ Verdadero

$x > \frac{93}{10}$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < \frac{93}{10}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < \frac{93}{10}$

Notación de intervalo:

$(0, \frac{93}{10})$

Paso 10