Álgebra Ejemplos

$\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3 x (2 x)) = 3$

Paso 1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (3 \cdot (2 x \cdot x)) = 3$

Paso 1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Mueve $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 (x \cdot x))) = 3$

Paso 1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 x^{2})) = 3$

Paso 1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\ln (6 x^{2}) = 3$

Paso 2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (6 x^{2})} = e^{3}$

Paso 3

Reescribe $\ln (6 x^{2}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = 6 x^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $6 x^{2} = e^{3}$ .

$6 x^{2} = e^{3}$

Paso 4.2

Divide cada término en $6 x^{2} = e^{3}$ por $6$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $6 x^{2} = e^{3}$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{3}}{6}$

Paso 4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$

Paso 4.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ como $\frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$

Paso 4.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $e^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{2} e}}{\sqrt{6}}$

Paso 4.4.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$

Paso 4.4.3

Multiplica $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 4.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.4.1

Multiplica $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 4.4.4.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 4.4.4.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 4.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 4.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 4.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 4.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6}$

Paso 4.4.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}, - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$ sea verdadera.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Forma decimal:

$x = 1.82964190 \dots$