Álgebra Ejemplos

$x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $x^{2} - 2 x$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 1.1.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Paso 1.2

Sustituye ${(x - 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} - 2 x$ en la ecuación $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - y^{2} + 2 y = 1$

Paso 1.3

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x - 1)}^{2} - y^{2} + 2 y = 1 + 1$

Paso 1.4

Completa el cuadrado de $- y^{2} + 2 y$ .

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Paso 1.4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 1.4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.4.3.2.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Paso 1.4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Paso 1.4.4.2.1.3

Divide $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Paso 1.4.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Paso 1.4.4.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$e = 1$

Paso 1.4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

Paso 1.5

Sustituye $- {(y - 1)}^{2} + 1$ por $- y^{2} + 2 y$ en la ecuación $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} + 1 = 1 + 1$

Paso 1.6

Mueve $1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1 + 1 - 1$

Paso 1.7

Simplifica $1 + 1 - 1$ .

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Paso 1.7.1

Suma $1$ y $1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 2 - 1$

Paso 1.7.2

Resta $1$ de $2$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 1$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(1, 1)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1}$

Paso 5.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, 1)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, 1)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(2, 1), (0, 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1 + \sqrt{2}, 1)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1 - \sqrt{2}, 1)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Divide $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 8.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1}$

Paso 8.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Paso 11.2

Simplifica $1 \cdot (x - (1)) + 1$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $x - (1)$ por $1$ .

$y = x - (1) + 1$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = x - 1 + 1$

Paso 11.2.2

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 11.2.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$y = x + 0$

Paso 11.2.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = x$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Paso 12.2

Simplifica $- 1 \cdot (x - (1)) + 1$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - 1 \cdot (x - 1) + 1$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1$

Paso 12.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 1 + 1$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - x + 1 + 1$

Paso 12.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$y = - x + 2$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = x, y = - x + 2$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(1, 1)$

Vértices: $(2, 1), (0, 1)$

Focos: $(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

Excentricidad: $\sqrt{2}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asíntotas: $y = x$ , $y = - x + 2$

Paso 15