Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{12} + \sqrt{7}}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{7}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{7}}$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ por $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ por $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{(2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}$

Paso 3.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2 \sqrt{21} + 2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Paso 4

Expande $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $\sqrt{7} (2 \sqrt{3})$ .

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Paso 5.1.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.1.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{21} + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.2

Multiplica $\sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Paso 5.1.2.1

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.2.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{1 + 1} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{2} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.3

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 5.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{1} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{21} - 1 \cdot 7 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.5

Multiplica $\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Paso 5.1.5.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 {\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3^{1} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 6 + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Paso 5.1.8

Multiplica $\sqrt{3} (- \sqrt{7})$ .

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Paso 5.1.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 6 - \sqrt{3 \cdot 7}}{5}$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 6 - \sqrt{21}}{5}$

Paso 5.2

Resta $\sqrt{21}$ de $2 \sqrt{21}$ .

$\frac{- 7 + 6 + \sqrt{21}}{5}$

Paso 5.3

Suma $- 7$ y $6$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{21}}{5}$

Paso 6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sqrt{21}}{5}$

Paso 7

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{21}$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{21})}{5}$

Paso 8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{21})$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{21})}{5}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 - \sqrt{21}}{5}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1 - \sqrt{21}}{5}$

Forma decimal:

$0.71651513 \dots$