Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x + 2}{x + 3} > 4$

Paso 1

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2 x + 2}{x + 3} - 4 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2 x + 2}{x + 3} - 4$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $2 x + 2$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{x + 3} - 4 > 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (1)}{x + 3} - 4 > 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x + 3} - 4 > 0$

Paso 2.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x + 3} - 4 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} > 0$

Paso 2.3

Combina $- 4$ y $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x + 3} + \frac{- 4 (x + 3)}{x + 3} > 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x + 1) - 4 (x + 3)}{x + 3} > 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $2$ de $2 (x + 1) - 4 (x + 3)$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $2$ de $- 4 (x + 3)$ .

$\frac{2 (x + 1) + 2 (- 2 (x + 3))}{x + 3} > 0$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $2$ de $2 (x + 1) + 2 (- 2 (x + 3))$ .

$\frac{2 (x + 1 - 2 (x + 3))}{x + 3} > 0$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x + 1 - 2 x - 2 \cdot 3)}{x + 3} > 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{2 (x + 1 - 2 x - 6)}{x + 3} > 0$

Paso 2.5.4

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{2 (- x + 1 - 6)}{x + 3} > 0$

Paso 2.5.5

Resta $6$ de $1$ .

$\frac{2 (- x - 5)}{x + 3} > 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 5)}{x + 3} > 0$

Paso 2.7

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (5))}{x + 3} > 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{2 (- (x + 5))}{x + 3} > 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 5))}{x + 3} > 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (x + 5)}{x + 3} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 5

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 5$

$x = - 3$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = - 5, - 3$

Paso 8

Obtén el dominio de $- \frac{2 (x + 5)}{x + 3}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{2 (x + 5)}{x + 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 3 = 0$

Paso 8.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 3$

$x > - 3$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 8) + 2}{(- 8) + 3} > 4$

Paso 10.1.3

$2.8$ del lado izquierdo no es mayor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 4) + 2}{(- 4) + 3} > 4$

Paso 10.2.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (0) + 2}{(0) + 3} > 4$

Paso 10.3.3

$0.\overline{6}$ del lado izquierdo no es mayor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 3$ Verdadero

$x > - 3$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 3$ Verdadero

$x > - 3$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 < x < - 3$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 5 < x < - 3$

Notación de intervalo:

$(- 5, - 3)$

Paso 13