Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ como una ecuación.

$y = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$ .

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{1} = x^{5}$

Paso 3.3.1.2

Divide la fracción $\frac{y^{7} - 2}{3}$ en dos fracciones.

${(\frac{y^{7}}{3} + \frac{- 2}{3})}^{1} = x^{5}$

Paso 3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3})}^{1} = x^{5}$

Paso 3.3.1.4

Simplifica.

$\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3} = x^{5}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $\frac{2}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{7}}{3} = x^{5} + \frac{2}{3}$

Paso 3.4.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Paso 3.4.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Paso 3.4.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{7} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.2.1

Simplifica $3 (x^{5} + \frac{2}{3})$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

Paso 3.4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

Paso 3.4.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{7} = 3 x^{5} + 2$

Paso 3.4.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 2}$

Paso 5.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} - 2 + 2}$

Paso 5.2.5

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Paso 5.2.5.2

Suma $x^{7}$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Paso 5.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ como ${(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{(3 x^{5} + 2) - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 2 - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.4

Resta $2$ de $2$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 0}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.5

Suma $3 x^{5}$ y $0$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.4.1.2

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$