Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Paso 1

Simplifica $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{1}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 1) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x - 3}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x + 1)} \leq 0$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 + x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{2 x - 3 + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Paso 1.5.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Paso 1.5.3

Factoriza $2$ de $2 x - 2$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Paso 2

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1$

$x = - 1$

$x = 3$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 1, - 1, 3$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 1 = 0$

Paso 8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8.3

Establece el denominador en $\frac{1}{x - 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 3 = 0$

Paso 8.4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 8.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{(- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) - 3} \leq 0$

Paso 10.1.3

$- 0.\overline{476190}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{(0) + 1} + \frac{1}{(0) - 3} \leq 0$

Paso 10.2.3

$0.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{(2) + 1} + \frac{1}{(2) - 3} \leq 0$

Paso 10.3.3

$- 0.\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{(6) + 1} + \frac{1}{(6) - 3} \leq 0$

Paso 10.4.3

$0.\overline{476190}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $1 \leq x < 3$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 1 or 1 \leq x < 3$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup [1, 3)$

Paso 13