Álgebra Ejemplos

$f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Paso 1

Escribe $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ como una ecuación.

$y = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 12 \cdot 11^{3 y} + 13$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$ .

$12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$

Paso 3.2

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$

Paso 3.3

Divide cada término en $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ por $12$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ por $12$ .

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $11^{3 y}$ por $1$ .

$11^{3 y} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$11^{3 y} = \frac{x}{12} - \frac{13}{12}$

Paso 3.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (11^{3 y}) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Paso 3.5

Expande $\ln (11^{3 y})$ ; para ello, mueve $3 y$ fuera del logaritmo.

$3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Paso 3.6

Divide cada término en $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ por $3 \ln (11)$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ por $3 \ln (11)$ .

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 3.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común de $\ln (11)$ .

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Paso 3.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 3.6.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ es la inversa de $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 5.2.3.2

Combina los términos opuestos en $12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Resta $13$ de $13$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 0}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 5.2.3.2.2

Suma $12 \cdot 11^{3 x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Paso 5.2.3.3.2

Divide $11^{3 x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{3 \ln (11)}$

Paso 5.2.4

Simplifica $3 \ln (11)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (11^{3})}$

Paso 5.2.5

Eleva $11$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (1331)}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Paso 5.3.3.2

Simplifica $3 \ln (11)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (11^{3})})} + 13$

Paso 5.3.3.3

Eleva $11$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)})} + 13$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $3 \frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Combina $3$ y $\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{3 \ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}} + 13$

Paso 5.3.3.4.2

Simplifica $3 \ln (\frac{x - 13}{12})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln ({(\frac{x - 13}{12})}^{3})}{\ln (1331)}} + 13$

Paso 5.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 13}{12}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{12^{3}})}{\ln (1331)}} + 13$

Paso 5.3.3.5.2

Eleva $12$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{1728})}{\ln (1331)}} + 13$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ es la inversa de $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$