Álgebra Ejemplos

$f (x) = - x^{2}$ $g (x) = - x^{2} + 6$

Paso 1

Grafica $f (x) = - x^{2}$ .

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Paso 1.1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1.1

Completa el cuadrado de $- x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 0$

Paso 1.1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.1.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 1.1.1.1.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Paso 1.1.1.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Paso 1.1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 4}$

Paso 1.1.1.1.4.2.1.3

Divide $0$ por $- 4$ .

$e = 0 - 0$

Paso 1.1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Paso 1.1.1.1.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$e = 0$

Paso 1.1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- x^{2}$ .

$- x^{2}$

Paso 1.1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - x^{2}$

Paso 1.1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 0$

$k = 0$

Paso 1.1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Paso 1.1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.1.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 1.1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - \frac{1}{4})$

Paso 1.1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 1.1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{1}{4}$

Paso 1.1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, - \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{1}{4}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, - \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{1}{4}$

Paso 1.2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 1.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2}$

Paso 1.2.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3}$

Paso 1.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - 1$

Paso 1.2.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 1.2.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 1.2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2}$

Paso 1.2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 1.2.5.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- 2) = - 4$

Paso 1.2.5.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 1.2.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 1.2.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - {(1)}^{2}$

Paso 1.2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 1.2.8.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1$

Paso 1.2.8.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 1.2.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 1.2.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - {(2)}^{2}$

Paso 1.2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 1.2.11.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.11.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4$

Paso 1.2.11.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 1.2.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 1.2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Paso 1.3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, - \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, - \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Paso 2

Grafica $g (x) = - x^{2} + 6$ .

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Paso 2.1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Completa el cuadrado de $- x^{2} + 6$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 6$

Paso 2.1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.1.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 2.1.1.1.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Paso 2.1.1.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Paso 2.1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 6 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 6 - \frac{0}{- 4}$

Paso 2.1.1.1.4.2.1.3

Divide $0$ por $- 4$ .

$e = 6 - 0$

Paso 2.1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 6 + 0$

Paso 2.1.1.1.4.2.2

Suma $6$ y $0$ .

$e = 6$

Paso 2.1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 0)}^{2} + 6$ .

$- {(x + 0)}^{2} + 6$

Paso 2.1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x + 0)}^{2} + 6$

Paso 2.1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 0$

$k = 6$

Paso 2.1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 2.1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 6)$

Paso 2.1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 2.1.6

Obtén el foco.

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Paso 2.1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, \frac{23}{4})$

Paso 2.1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 2.1.8

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{25}{4}$

Paso 2.1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 6)$

Foco: $(0, \frac{23}{4})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{25}{4}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 6)$

Foco: $(0, \frac{23}{4})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{25}{4}$

Paso 2.2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 6$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 6$

Paso 2.2.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 6$

Paso 2.2.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 6$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 6$

Paso 2.2.2.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$f (- 1) = 5$

Paso 2.2.2.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 2.2.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $5$ .

$y = 5$

Paso 2.2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} + 6$

Paso 2.2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 4 + 6$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- 2) = - 4 + 6$

Paso 2.2.5.2

Suma $- 4$ y $6$ .

$f (- 2) = 2$

Paso 2.2.5.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 2.2.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $2$ .

$y = 2$

Paso 2.2.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 6$

Paso 2.2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6$

Paso 2.2.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1 + 6$

Paso 2.2.8.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$f (1) = 5$

Paso 2.2.8.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 2.2.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $5$ .

$y = 5$

Paso 2.2.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 6$

Paso 2.2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.11.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 6$

Paso 2.2.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4 + 6$

Paso 2.2.11.2

Suma $- 4$ y $6$ .

$f (2) = 2$

Paso 2.2.11.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 2.2.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $2$ .

$y = 2$

Paso 2.2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array}$

Paso 2.3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 6)$

Foco: $(0, \frac{23}{4})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{25}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 6)$

Foco: $(0, \frac{23}{4})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{25}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array}$

Paso 3

Traza cada gráfica en el mismo sistema de coordenadas.

$f (x) = - x^{2}$

$g (x) = - x^{2} + 6$

Paso 4