Álgebra Ejemplos

$x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 15 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = x^{2} + 6 x - 15$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 15$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Suma $4$ y $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ .

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Paso 3.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 24 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ y cuya suma es $b = - 6$ .

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Paso 3.1.6.2.1.1

Factoriza $- 6$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.2

Reescribe $- 6$ como $2$ más $- 8$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 8) x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 8 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7

Reescribe $4 (- x + 2) (x + 8)$ como $2^{2} ((- x + 2) (x + 8))$ .

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Paso 3.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 15$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Suma $4$ y $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 24 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ y cuya suma es $b = - 6$ .

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Paso 4.1.6.2.1.1

Factoriza $- 6$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.1.2

Reescribe $- 6$ como $2$ más $- 8$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 8) x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 8 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7

Reescribe $4 (- x + 2) (x + 8)$ como $2^{2} ((- x + 2) (x + 8))$ .

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Paso 4.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 1 + \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 15$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Suma $4$ y $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 24 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ y cuya suma es $b = - 6$ .

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Paso 5.1.6.2.1.1

Factoriza $- 6$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.2

Reescribe $- 6$ como $2$ más $- 8$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 8) x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 8 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Reescribe $4 (- x + 2) (x + 8)$ como $2^{2} ((- x + 2) (x + 8))$ .

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Paso 5.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 1 - \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 1 + \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

$y = 1 - \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(- x + 2) (x + 8) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Paso 8.2

Establece $- x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $- x + 2$ igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Paso 8.2.2

Resuelve $- x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 8.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 8.3

Establece $x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x + 8$ igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Paso 8.3.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- x + 2) (x + 8) \geq 0$ verdadera.

$x = 2, - 8$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < 2$

$x > 2$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$(- (- 10) + 2) ((- 10) + 8) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 24$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(- (0) + 2) ((0) + 8) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$16$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$(- (4) + 2) ((4) + 8) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 24$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 8 \leq x \leq 2$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 8, 2]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 8 \leq x \leq 2}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 4, 6]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 4 \leq y \leq 6}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 8, 2], {x | - 8 \leq x \leq 2}$

Rango: $[- 4, 6], {y | - 4 \leq y \leq 6}$

Paso 12